Dynamic-Programming(动态规划)最细解题思路+代码详解

之后，豁然开朗 ，感觉动态规划也不是很难，今天，我就来跟大家讲一讲，我是怎么做动态规划的题的，以及从中学到的一些套路。相信你看完一定有所收获

如果你对动态规划感兴趣，或者你看的懂动态规划，但却不知道怎么下手，那么我建议你好好看以下，这篇文章将会举大量的例子。如果一次性看不完，建议收藏，同时别忘了素质三连。

为了兼顾初学者，我会从最简单的题讲起，后面会越来越难，最后面还会讲解，该如何优化。因为 80% 的动规都是可以进行优化的。不过我得说，如果你连动态规划是什么都没听过，可能这篇文章你也会压力山大。

一、动态规划的三大步骤

动态规划，无非就是利用历史记录，来避免我们的重复计算。而这些历史记录，我们得需要一些变量来保存，一般是用一维数组或者二维数组来保存。下面我们先来讲下做动态规划题很重要的三个步骤，

如果你听不懂，也没关系，下面会有很多例题讲解，估计你就懂了。之所以不配合例题来讲这些步骤，也是为了怕你们脑袋乱了

• 第一步骤：定义数组元素的含义，上面说了，我们会用一个数组，来保存历史数组，假设用一维数组 dp[] 吧。这个时候有一个非常非常重要的点，就是规定你这个数组元素的含义，例如你的 dp[i] 是代表什么意思？

• 第二步骤：找出数组元素之间的关系式，我觉得动态规划，还是有一点类似于我们高中学习时的归纳法的，当我们要计算 dp[n] 时，是可以利用 dp[n-1]，dp[n-2]……dp[1]，来推出 dp[n] 的，也就是可以利用历史数据来推出新的元素值，所以我们要找出数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，这个就是他们的关系式了。而这一步，也是最难的一步，后面我会讲几种类型的题来说。

学过动态规划的可能都经常听到最优子结构，把大的问题拆分成小的问题，说时候，最开始的时候，我是对最优子结构一梦懵逼的。估计你们也听多了，所以这一次，我将换一种形式来讲，不再是各种子问题，各种最优子结构。所以大佬可别喷我再乱讲，因为我说了，这是我自己平时做题的套路。

• 第三步骤：找出初始值。学过数学归纳法的都知道，虽然我们知道了数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，我们可以通过 dp[n-1] 和 dp[n-2] 来计算 dp[n]，但是，我们得知道初始值啊，例如一直推下去的话，会由 dp[3] = dp[2] + dp[1]。而 dp[2] 和 dp[1] 是不能再分解的了，所以我们必须要能够直接获得 dp[2] 和 dp[1] 的值，而这，就是所谓的初始值。

由了初始值，并且有了数组元素之间的关系式，那么我们就可以得到 dp[n] 的值了，而 dp[n] 的含义是由你来定义的，你想求什么，就定义它是什么，这样，这道题也就解出来了。

不懂？没事，我们来看三四道例题，我讲严格按这个步骤来给大家讲解。

二、案例详解

案例一、简单的一维 DP

问题描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

(1)、定义数组元素的含义

按我上面的步骤说的，首先我们来定义 dp[i] 的含义，我们的问题是要求青蛙跳上 n 级的台阶总共由多少种跳法，那我们就定义 dp[i] 的含义为：跳上一个 i 级的台阶总共有 dp[i] 种跳法。这样，如果我们能够算出 dp[n]，不就是我们要求的答案吗？所以第一步定义完成。

（2）、找出数组元素间的关系式

我们的目的是要求 dp[n]，动态规划的题，如你们经常听说的那样，就是把一个规模比较大的问题分成几个规模比较小的问题，然后由小的问题推导出大的问题。也就是说，dp[n] 的规模为 n，比它规模小的是 n-1, n-2, n-3…. 也就是说，dp[n] 一定会和 dp[n-1], dp[n-2]….存在某种关系的。我们要找出他们的关系。

那么问题来了，怎么找？

这个怎么找，是最核心最难的一个，我们必须回到问题本身来了，来寻找他们的关系式，dp[n] 究竟会等于什么呢？

对于这道题，由于情况可以选择跳一级，也可以选择跳两级，所以青蛙到达第 n 级的台阶有两种方式

一种是从第 n-1 级跳上来

一种是从第 n-2 级跳上来

由于我们是要算所有可能的跳法的，所以有 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。

（3）、找出初始条件

当 n = 1 时，dp[1] = dp[0] + dp[-1]，而我们是数组是不允许下标为负数的，所以对于 dp[1]，我们必须要直接给出它的数值，相当于初始值，显然，dp[1] = 1。一样，dp[0] = 0.（因为 0 个台阶，那肯定是 0 种跳法了）。于是得出初始值：

dp[0] = 0.
dp[1] = 1.
即 n <= 1 时，dp[n] = n.

三个步骤都做出来了，那么我们就来写代码吧，代码会详细注释滴

int f( int n ){
if(n <= 1)
return n;
// 先创建一个数组来保存历史数据
int[] dp = new int[n+1];
// 给出初始值
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
// 通过关系式来计算出 dp[n]
for(int i = 2; i <= n; i++){
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
// 把最终结果返回
return dp[n];
}

（4）、再说初始化

大家先想以下，你觉得，上面的代码有没有问题？

答是有问题的，还是错的，错在对初始值的寻找不够严谨，这也是我故意这样弄的，意在告诉你们，关于初始值的严谨性。例如对于上面的题，当 n = 2 时，dp[2] = dp[1] + dp[0] = 1。这显然是错误的，你可以模拟一下，应该是 dp[2] = 2。

也就是说，在寻找初始值的时候，一定要注意不要找漏了，dp[2] 也算是一个初始值，不能通过公式计算得出。有人可能会说，我想不到怎么办？这个很好办，多做几道题就可以了。

下面我再列举三道不同的例题，并且，再在未来的文章中，我也会持续按照这个步骤，给大家找几道有难度且类型不同的题。下面这几道例题，不会讲的特性详细哈。实际上 ，上面的一维数组是可以把空间优化成更小的，不过我们现在先不讲优化的事，下面的题也是，不讲优化版本。

案例二：二维数组的 DP

我做了几十道 DP 的算法题，可以说，80% 的题，都是要用二维数组的，所以下面的题主要以二维数组为主，当然有人可能会说，要用一维还是二维，我怎么知道？这个问题不大，接着往下看。

问题描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

还是老样子，三个步骤来解决。

步骤一、定义数组元素的含义

由于我们的目的是从左上角到右下角一共有多少种路径，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，一共有 dp[i] [j] 种路径。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。

注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 右下角的位置是 (m-1, n – 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要找的答案。

步骤二：找出关系数组元素间的关系式

想象以下，机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达

一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达

一种是从(i, j – 1) 这个位置走一步到达

因为是计算所有可能的步骤，所以是把所有可能走的路径都加起来，所以关系式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]。

步骤三、找出初始值

显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i – 1 或者 j – 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的，相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下：

dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往左走

dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走

撸代码

三个步骤都写出来了，直接看代码

public static int uniquePaths(int m, int n) {
if (m <= 0 || n <= 0) {
return 0;
}

int[][] dp = new int[m][n]; //
// 初始化
for(int i = 0; i < m; i++){
dp[i][0] = 1;
}
for(int i = 0; i < n; i++){
dp[0][i] = 1;
}
// 推导出 dp[m-1][n-1]
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}

案例三、二维数组 DP

写到这里，有点累了，，但还是得写下去，所以看的小伙伴，你们可得继续看呀。下面这道题也不难，比上面的难一丢丢，不过也是非常类似

问题描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

举例：
输入:
arr = [
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

和上面的差不多，不过是算最优路径和，

步骤一、定义数组元素的含义

由于我们的目的是从左上角到右下角，最小路径和是多少，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，最下的路径和是 dp[i] [j]。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。

注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 由下角的位置是 (m-1, n – 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要走的答案。

步骤二：找出关系数组元素间的关系式

想象以下，机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达

一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达

一种是从(i, j – 1) 这个位置走一步到达

不过这次不是计算所有可能路径，而是计算哪一个路径和是最小的，那么我们要从这两种方式中，选择一种，使得dp[i] [j] 的值是最小的，显然有
dp[i] [j] = min(dp[i-1][j]，dp[i][j-1]) + arr[i][j];// arr[i][j] 表示网格种的值
步骤三、找出初始值

显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i – 1 或者 j – 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的，相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下：

dp[0] [j] = arr[0] [j] + dp[0] [j-1]; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往左走

dp[i] [0] = arr[i] [0] + dp[i] [0]; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走
代码如下

public static int uniquePaths(int[][] arr) {
int m = arr.length;
int n = arr[0].length;
if (m <= 0 || n <= 0) {
return 0;
}

int[][] dp = new int[m][n]; //
// 初始化
dp[0][0] = arr[0][0];
// 初始化最左边的列
for(int i = 1; i < m; i++){
dp[i][0] = dp[i-1][0] + arr[i][0];
}
// 初始化最上边的行
for(int i = 1; i < n; i++){
dp[0][i] = dp[0][i-1] + arr[0][i];
}
// 推导出 dp[m-1][n-1]
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + arr[i][j];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}

案例 4：编辑距离
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