能控性格拉姆矩阵判据详细证明过程

xiaoxingxing • 2024年4月16日下午10:30 • IT • 阅读 9

最近在学习郑大钟老师的线性系统理论的教材，在学习过程中发现能控性格拉姆矩阵定理的证明有一些简略，下面给出一种详细的证明思路和方法，供一同学习线性系统理论的大家参考，如证明过程存在不严谨的地方，欢迎大家一同交流，共同进步。

对于线性时不变系统，状态方程为：

$\dot{x}=Ax+Bu, x(0)=x_{0},t\geq 0$

其中， $x$ 为n维状态， $u$ 为p维输入， $A$ 和 $B$ 分别为 $n\times n$ 和 $n\times p$ 常值矩阵。

【格拉姆矩阵能控性判据】上述系统能控性的充分必要条件为：存在时刻 $t_1> 0$ ，使得如下格拉姆矩阵(Gram)

$W_c[0,t_1]=\int_{0}^{t_1}e^{-At}BB^Te^{-A^Tt}dt$

为非奇异。

证充分性：已知Gram矩阵非奇异，证系统完全能控。

欲证系统为完全能控的，根据能控性的定义：在时间 $t\in [t_0,t_1]$ 中，存在一个无约束容许控制 $u(t)$ ，使系统状态由 $x(t_0)=x_0$ 转移到 $x(t_1)=0$ 。由此，可以构建运动状态表达式

$x(t_1)=e^{A(t_1-t_0)}x_0+\int_{t_0}^{t_1}e^{A(t_1-\tau)}Bu(\tau)d\tau$

证明充分性的主要思想是构造一个 $u(t)$ ，使得状态 $x(t_1)$ 在控制器的作用下到达零状态。

$x(t_1)=e^{A(t_1-t_0)}x_0+\int_{0}^{t_1}e^{A(t_1-\tau)}Bu(\tau)d\tau$

$=e^{At_1}x_0-\left \{ e^{At_1}\int_{0}^{t_1}e^{-At}BB^Te^{-A^{T}t} dt\right \}W_{c}[0,t_{1}]x_0$

此处，构造的 $u(t)=-B^{T}e^{-A^{T}t}W_{c}[0,t_1]x_0$ ，上式可以表示成

$=e^{At_1}x_0-e^{At_1}W_{c}[0,t_1]W_{c}^{-1}[0,t_1]x_0$

$=e^{At_1}x_0-e^{At_1}x_0=0$

这表明，状态空间 $R^n$ 中的所有非零状态均为能控的，即充分性得证。

再证必要性：即已知系统完全能控，证明格拉姆矩阵非奇异。

采用反证法：假设 $W_c[0,t_1]$ 为奇异矩阵（即矩阵的行列式为零），则系统中至少存在一个非零状态 $\alpha$ 使得 $\alpha^{T}W_c[0,t_1]\alpha=0$ 成立。

$0=\alpha^{T}W_c[0,t_1]\alpha=\int_{0}^{t_1}\alpha^{T}e^{-At}BB^Te^{-A^Tt}\alpha dt$

$=\int_{0}^{t_1}[\alpha^{T}e^{-At}B][B^Te^{-A^Tt}\alpha]^{T} dt$

$=\int_{0}^{t_1}||B^{T}e^{-A^{T}t}\alpha||^{2}dt$

由于 $\alpha$ 为非零状态，故 $W_{c}$ 为非奇异矩阵，与假设条件相矛盾，假设不成立。

必要性得证，至此证毕。

$能控性格拉姆矩阵判据详细证明过程$

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