【双曲几何学 02】什么是极点和极线？

一、说明

       极点和极线（Pole and polar）对于几何学，是普遍的概念。可能高中就学过，问题是在双曲几何又用到这个概念，因此，这里再次强调理解这个概念 。为后边学习双曲几何扫清障碍。

二、基本概念

        在几何学中，极点和极线分别是相对于给定圆锥截面具有唯一倒数关系的点和线。

        给定圆中的极点往复运动是将平面中的每个点转换为它的极线，并将平面中的每条线转换为它的极点。总之，极点和极线是一对二元关系。总是伴随出现的。

2.1 极点的定义

        不在二次曲线上的一点P作直线l交二次曲线于M、N两点，则在L上有且只有一点Q，使得(PQ，MN)=-1（即P、Q、M、N构成一调和点列）。当l绕着P旋转时，Q的轨迹是一条直线p（或一部分），这条直线p叫做点P关于二次曲线的极线，而P叫做p关于该曲线的极点。

• 如何理解 P、Q、M、N构成一调和点列？ 等价说法：       

     PM * QN = MQ * PN  （牢记这个顺序）

        以下给出调和点列的记忆图：

•  从P做射影点，扫过椭圆后，形成一系列的Q1，Q2，Q3… 这些点轨迹构成直线段。这就是极线。

2.2 一般圆锥曲线的极点与极线方程

对于任意圆锥曲线(圆，椭圆，抛物线，双曲线)

三、圆的极点和极点

3.1 P在圆外

        令 P 为圆内或圆外的任意一点。画任何通过 P 的弦 AB 和 CD。如果圆的过P切线的切点S-S‘在 A 和 B 处相交于 Q，则 Q 的轨迹称为 P 相对于圆的极线，P 称为极点，如果切点连线SS‘交圆在C和D处相交于Q’，则直线QQ’就是以P为极点的极线。

        其中不变的性质是：AQ*BP=QB*AP；或CQ’*DP=Q’D*CP

3.2 极点P在园内

        如果P是极点，并且在单位圆内：不失一般性，将P放置在AB直径上，在P原地旋转后，滑动的时候

      其中不变的性质是：AQ*BP=QB*AP；或CQ’*DP=Q’D*CP；通过这个性质，可以求出极线的位置：设 P( 0,s )；BQ = x

AQ = 2 + x  ;       BQ = x   ;       BP = 1-s ;       AP = 1+s

所以：（2+x）*（1-s）= x*（1+s）

最后得出：x = (1-s)/s

极线QQ‘坐标为：（1+x，t）或（1/s,t);    t是参数；

四、椭圆的极点和极点

4.1 P是椭圆外的极点

        设极点P在椭圆C外侧：P对应的极线方程与 椭圆C’ 的两个交点实际上是从点P 向椭圆 C引出的两条切线的切点之连线。

同样有性质：CQ *DP=QD*CP

4.2 极点在椭圆内部

性质1.内接四边形

设四边形ABCD内接于二次曲线C，则对角线交点P的极线是两组对边交点的连线。

        在证明之前，我们先来证明一个引理.

         引理：在完全四边形ABCDMN中，(C,E,A,M),(D,F,B,M)均为调和点列。（关于调和点列的定义，在上文极线的定义中有说明）

证明：对于  及塞瓦点P运用塞瓦定理有 

对于  及截线MBD运用梅氏定理有：  

联立以上两式知  即  

∴ (C,E,A,M)为调和点列，类似可证明(D,F,B,M)为调和点列。

 回到原命题

证明：由完全四边形的调和性质可知(C,E,A,M),(D,F,B,M)调和，

由极线的几何定义知点E在点M关于曲线C的极线上、点F在点M关于曲线C的极线上

由两点确定一条直线知，直线EF即为点M的极线，∴点P在点M的极线上

由配极原则知，点M在点P的极线上，同理可知，点N在点P的极线上

∴直线MN即为点P的极线，原命题成立。

五、双曲的极点和极线

5.1 极点在双曲外侧

同样用【4.2 极点在椭圆内部】定理进行证明

 5.2 极点在双曲内侧

        则过极点 P 作双曲线 C的两条切线，切点正好为 A，B ,极线方程为 即为切点弦AB的直线方程。

六、极点和极线性质

6.1 性质如下

       Pole 和 polar 有几个有用的属性：

• 如果点极点 P 位于直线 l 上，则直线 l 的极点 L 位于点 P 的极线 p 上。
• 如果极点 P 沿直线 l 移动，则其极点 p 绕直线 l 的极点 L 旋转。
• 如果可以从极点到圆锥曲线绘制两条切线，则其极线通过两个切点。
• 如果一点位于圆锥截面上，则其极坐标是通过该点到圆锥截面的切线。
• 如果点 P 位于它自己的极线上，则 P 在圆锥曲线上。
• 相对于非退化圆锥截面，每条线恰好有一个极点。
• 任意两点 P 和 Q 到圆心的距离与彼此到另一极的距离成正比。

6.2 推论

性质1.配极原则推论

两点连线的极点是这两点的极线的交点；两直线交点的极线是这两直线的极点的连线。

证明：设有两点A、B，各自的极线交于C，则根据配极原则，C在A的极线上⇒A在C的极线上。同理，B在C的极线上。由两点确定一条直线可知AB是C的极线，即C是AB的极点。类似可证后者。

从这个性质中可以知道，对于二次曲线上两个点，过这两点的切线的交点的极线即这两点的连线。