2024年第十七届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛

2024年第十七届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛

文章目录

• 2024年第十七届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛
• 交流群：954261578
• A
• • 题干信息
  • 问题一
  • 问题二
  • 问题三
• B
• • 题干信息
  • 1. 基于颅内压测量的模型
  • 2. 不依赖于颅内压测量的模型
• C
• • 题干信息
  • 已知数据
  • 问题一
  • 问题二

交流群：954261578

比赛开始后将更新赛题思路等

A

题干信息

冬装最重要的作用是保暖，也就是阻挡温暖的人体与寒冷环境之间的热量传递。人们在不同款式的棉衣中会填充保暖材料，从古已有之的棉花、羽绒到近年来各种各样的人造纤维。不同的保暖纤维具有不同的保暖性能，比如人们以往的经验表明，高品质的羽绒具有非常优秀的保暖性能，所以在极寒地区生活的人们以穿着不算特别厚重的羽绒服，也能够起到足够的御寒效果。但是羽绒作为保暖填充材料也有缺点：成本高，无法耐湿，以及获取手段可能对动物造成不人道的伤害。所以现在普遍认为人造的保暖纤维可能在今后取得更大的市场前景。
我们专注于对人造保暖纤维的保暖能力进行建模。请你和你的团队建立合理的数学模型以回答下列问题。

目标：对某种材料的保暖能力进行建模求解

问题一

人们研究过一些指标来描述某种保暖材料的保暖能力。例如热导率、热阻值、热导系数、CLO值（克罗值）等。在其中，有些指标主要依据基本的传热学物理量来进行定义和推算，忽略了实际使用的环境因素。常用的CLO值从定义上需要在穿着环境中对衣物进行实测，是一个比较完善的指标。但也有两个问题：首先，对某种填充材料而言，不同的填充方式、重量、厚度和压缩程度等因素都会影响实际成衣的保暖性能，所以原本定义于成衣的CLO值并不能完整地反映某种填充材料的完整性能；其次，在CLO值的定义中只考虑了某些特定的穿着环境，在运动、潮湿、大风等特殊条件下，CLO值与体感可能会有可观的偏差。请针对衣物内填充的保暖纤维建立一个合理的指标体系，较为全面地衡量某种保暖纤维的保暖能力。

目前的问题：
1）大部分指标只考虑基本的传热学物理量；
2）CLO指标的值是通过成衣测量出的，收不同的填充方式、重量、厚度和压缩程度等因素影响无法完整反映材料的性能；
3）CLO只考虑特定穿着环境，与体感会有偏差。
目标：针对保暖材料的保暖能力的合理评价指标体系。

思路：确定评价指标，构建评价模型
具体：
评价指标：
1）保暖率（绝热率）：这一指标主要是对保暖材料的保暧性能进行评价。一般由恒温法测得，设Q。为热体不包覆试样时单位时间内的散热量，Q,为热体包覆试样后单位时间内的散热量，则保暧率或绝热率为:

2）导热系数—-—导热与热阻:按照傅利叶导热定律，服装在人体与环境之间的导热量与服装内外表面的温度差、时间及传热面积成正比，与服装的厚度成反比。
设:Q为服装的导热量;S为服装面积,T为时间;入为导热系数;At为服装内外表面温度差;L为服装厚度。则

因此，导热系数可理解为单位面积、单位时间内通过的热量。而热阻R则定义为:R = L/lameta，其含义正好与导热系数相反。织物的热阻大或导热系数小，则织物的隔热性能好。
3）CLO值:目前是国际上最为常用的用于表征服装保暖性能的指标。该指标于1941年由Gagge和 Burton提出，其定义为:室温为21℃，相对湿度为50%以下，气流为10cm/s的条件下，试穿者静坐不动，其基础代谢为58.15Wm2- h (50kcal/m2- h)感觉舒适并保持其体表温度在33℃时所穿服装的保暖量,此时的保暖量(隔热值)即为1clo。
4）热绝缘和热阻:所谓织物的“热绝缘”，是指在单位面积、单位时间内织物表面的热流率。热绝缘可用下述公式表示:

5）绝热指数:指包覆试样的热体和不包覆试样的热体冷却到一定温度时所需要时间之比。其公式为:A =T2/T1
T2:包覆试样的热体冷却到-定温度时所需要时间;
T1:不包覆试样的热体冷却到一定温度时所需要时间。
6）织物冷暖感:指织物刚与人体皮肤接触时对人体产生的一种冷热知觉反应。它主要影响冬季内衣穿着的舒适感。
冷暖感主要取决于织物与皮肤的表面接触状态，其中，不仅与接触面积大小有关，还与接触形态特征等有关。目前尚无量化的指标，而主要依靠人体的主观感受来判断。一般来说接触面积大的，表面又较光滑的织物，冷感较大。而起绒织物、毛织物冷感不显著，吸湿性差的纤维，其织物冷感强。导热性高的纤维织物有一定的冷感。
7）吸湿积分热:也可以称为润湿热，指在一定回潮率条件下，1g质量于燥的纤维材料吸湿到完全湿润时所产生的热量，单位J/g。这一指标是针对目前新兴的吸湿放热纤维的产生而提出的。空气中的水分子被吸湿材料大分子上的极性基因吸引与之结合，使分子动能降低，必然伴随着能量的转换，以热的形式释放出来，这种现象称为吸湿放热现象，这在自然界十分普遍。利用这一原理，已有开发研究吸湿放热纤维的报道。利用这种纤维生产的保暖服装，使人体在运动过程中，服装内的温度大约比一般保暖材料高几度，而湿度却有所降低，使人感到既温暖又干爽舒适。
8）接触热阻:指两个材料相接触时由于实际接触面积小于名义面积,且间隙介质为低导热系数物体（如静止空气)时,实际有效传热面积减小，热流线收缩，从而与无接触面的同样材料相比，增加了附加热阻。
接触热阻的作用不容忽视，利用接触热阻，可在不影响总体材料用量和单位面积质量的前提下，大幅度提高保暖内衣的隔热性能。
评价模型：
1）层次分析法
2）TOPSIS模型
求解：重点在于各指标在评价中的权重，可以利用智能优化算法求解权重

问题二

考虑到成本低廉，加工方便，我们假设只使用涤纶作为保暖纤维的材料。假设纤维的横截面都是圆形，每根纤维的平均长度和纤维的直径都是已知的常数。请建立合理的数学模型，来研究这种保暖纤维的保暖能力与纤维平均长度以及纤维直径的关系。

目标：纯建模，基于纤维平均长度以及纤维直径建立衡量其保暖能力的模型，即基于纤维平均长度以及纤维直径衡量热导率等指标

基本假设:
1)所有纤维均匀分布并具有相同的平均长度和直径。
2)考虑的环境温度和人体温度是恒定的，保暖层之间的热交换主要依据稳态热传导原理。
3)忽略湿度、风速等其他环境因素的影响。
4)纤维之间的空隙被视为静止空气，静止空气也是一种重要的保暖材料。
保暖能力的关键影响因素:
1)热导率: 涤纶材料的热导率与空气的热导率不同，纤维与空气的相对比例会影响整体热导率。
2)纤维的蓬松度: 一定量的纤维，其直径和长度会影响成衣的蓬松度，降低整体热导率，从而提高保暖能力。
3)纤维的排列方式: 假设纤维均匀分布。
模型建立：
设定纤维的热导率为 （涤纶纤维的），空气的热导率为 。考虑到涤纶纤维和空气混合的实际情况，我们可以基于体积分数来近似计算整体热导率 。如果设纤维的体积分数为 ，空气的体积分数为 ，则可以根据混合物的热导率公式估算整体热导率。

纤维的平均长度 和直径 关系到纤维的总体积 和在单位体积内纤维的分布情况，从而影响 和
纤维的总体积近似为
其中， 是单位体积内纤维的数量。
蓬松度 可以定义为单位质量涤纶纤维填充的体积。纤维直径和平均长度越大，能填充的空间越大，蓬松度越高，因此保暖性能越好。然而，具体关系需要进一步通过实验数据来确定。

问题三

在第2问的基础上，请根据你定义的指标，根据典型的棉花和羽绒的微观结构（请自行寻找所需数据），来估测其保暖能力。

思路：查询数据，结合前期建模，进行评估，即利用第二问模型求出几个指标，再查询该材料的其他指标参数进行评估

B

题干信息

人的大脑结构非常复杂,内部交织密布着神经和血管,所以在大脑内做手术具有非常高的精细和复杂程度。例如神经外科的肿瘤切除手术或血肿清除手术,通常需要将颅骨打开一个(或几个)圆形窗口,将病变部位暴露在术野中。但当病变部位较深时,就必须将上方的脑组织进行一定程度的牵拉、移位。这种牵拉和移位的幅度不能太大,而且具有损伤脑组织的风险。所以医生需要仔细设计手术方案,才能在尽量减小损伤的前提下完成手术目标。
现在有CT或核磁共振等成像手段可以对颅内区域进行准确的透视和三维定位。但是在打开颅骨后,由于打开部位的颅骨约束作用消失,而且脑组织是柔软的,所以脑组织会产生一定程度的变形、移位,甚至在一定程度上膨出,以至于病变部位的位置发生了改变。如果想要在术中实时进行透视和定位,需要复杂的设备,术者也需经过特殊的训练,这都使得此类手术尚未完全普及。所以我们需要设计一个合理的数学模型,较为精细地预测手术部位在开颅后的位置改变情况。我们一定能够取得的数据是:
1.术前的CT成像结果,这包含了颅腔的三维形状以及手术部位在三维空间中的位置(在建模时可自行寻找并使用典型的颅脑CT成像数据);2.术前的颅内压;
3.在颅骨上打开的窗口的大小以及位置;
4.开颅后在颅骨窗口处可观察到的脑组织膨出高度(通常以mm计);
5.在术前可以测量得到的其他生理指标。

1. 基于颅内压测量的模型

数据和条件使用：
术前 CT 成像结果：此数据用来获取颅腔的三维形状和手术部位在三维空间中的精确位置。
术前颅内压：作为计算脑组织变形的初始状态参数。
窗口大小和位置：决定了颅骨开口导致的结构变化以及压力重新分布的初始点。
开颅后脑组织膨出高度：提供开颅即刻脑组织应变的直接数据。
解决方法：
使用有限元方法（FEM）建立脑组织的三维模型，包括颅骨和脑组织，其材料属性根据生理数据进行赋值，如弹性模量和泊松比。
根据术前颅内压设置初始边界条件，并根据窗口的大小和位置施加边界条件，模拟颅骨开口导致的压强和应力场重新分布。
采用动态模拟方法，计算开颅后脑组织的位移和变形过程，验证模型的预测与开颅后脑组织膨出高度的实际观测数据相符合。
调整模型参数直到预测的变形情况与实际观测数据吻合，以确保模型准确性。

2. 不依赖于颅内压测量的模型

数据和条件使用：
无法测量颅内压的情况下，我们依然可以使用1、3和4提供的数据，但模型需要更加侧重于几何和物理属性，而非直接的生理测量值。
解决方法：
采用与上述相同的三维模型，但在没有颅内压具体值的情况下，可以使用文献中提供的颅内压平均值或根据脑组织膨出高度逆推颅内压的可能范围。
利用机器学习技术，如神经网络，训练模型根据开颅前的CT图像数据和脑组织膨出高度等信息预测颅内部的压力分布和脑组织的变形情况。这种方法能够根据输入数据的不同直接预测结果，而不依赖于颅内压的具体测量值。
集成先进的机器学习方法和有限元方法的优点，通过机器学习预测的颅内压力分布作为边界条件输入到有限元模型中，再次模拟脑组织的变形过程。

C

题干信息

巴黎气候协定提出的目标是：在2100年前，把全球平均气温相对于工业革命以前的气温升幅控制在不超过2摄氏度的水平，并为1.5摄氏度而努力。但事实上，许多之前的研究已经指出，全球的碳排放以及气温升温的前景都无法达到这一预期标准。而且传统的减排措施的实施效果较为有限。为了应对全球变暖，一些科学家提出了叫做“地球工程”的改造手段。包括使用人工手段从空气中分离并储存二氧化碳，或者给大气中注入气溶胶以降低地表接收到的日光辐射量等等。由于大型火山活动喷出的硫化物微粒可以使全球大气在数年间有明显的降温，所以有人提出可以向平流层释放硫酸盐气溶胶等颗粒物以模拟这类效应。但这种思路引起了许多反对意见，因为硫酸盐进入大气会造成大气化学成分的变化，可能造成后果未知的污染问题。进而，有人又提出，可以在海面上空以及低层海云内喷洒雾化的海水，使海盐气溶胶混入云层，也能起到增加云层反照率、降低海面接收到的日光辐射量的效应。而且由于海盐气溶胶本就在海上广泛存在，所以不容易造成新的污染。对这个方案，我们希望建立合理的数学模型以估算它的一系列后果。请你和你的团队建立合理的数学模型以解决下列问题：

已知数据

海洋与全球变暖

问题一

在海面上空以及低层海云内喷洒雾化的海水是否确实可以起到降低海面接收到的日光辐射量的效应?这个效应的强弱与哪些参数有关?

气溶胶可以通过直接效应和间接效应影响气候，对气候变化具有重要作用。直接效应是指气溶胶粒子吸收或散射太阳辐射,改变第七系统净吸收的太阳辐射通量,影响辐射收支平衡。间接效应主要指气溶胶作为云凝结核改变云的反照率、生命史等性质，进而影响云的生消过程和降水效应。此外，气溶胶在很大程度上还影响空气质量以及人类健康。
海盐气溶胶是大气中最主要的自然源气溶胶之一，尤其在海区和沿海大气，也是对流层中最大的颗粒物来源。海盐气溶胶的全球通量每年在1000~10000Tg,占自然源的30%-75%。据IPCC 2001报告估计每年大概有3300 T g 的海盐气溶胶由于风应力作用于海洋表面而进入海洋大气边界层。
海洋表面受风应力作用,产生海水飞沫,产生海水飞沫的过程又分直接机制和间接机制。在风速超过10-12m/s时，强湍流使得浪花顶部直接碎裂产生泡沫滴，这种过程称为直接机制。由于波浪破碎产生的气泡在水面破碎，气泡破碎后喷会出无数液滴，这种过程为间接机制。海水飞沫蒸发后便可形成以NaCl为主的气溶胶粒子。大量NaCI粒子，在大气中与陆地经长距离输送来的气溶胶细颗粒碰撞而吸附其表面便形成海盐气溶胶7。
海盐气溶胶是亲水性气溶胶,在吸湿发生潮解以后,可以把海盐粒子近似看成含有溶质的小液滴。海水中海盐质量占3.5%，其中85%是NaCl，海盐气溶胶中还含有CI、Na、Mg、Ca、K、S和Br等元素，且海盐气溶胶的元素浓度比与海水中的相应比值近似。如表1.1所示,Seinfeld和Pandisl8〕曾假定干燥海的盐微粒由30.6%的Na，55.04%的CI和14.4%的其它无机成分组成。
在距离陆地较远的海域,海盐气溶胶占气溶胶气溶胶光学厚度的30%%,大气气溶胶的辐射效应是气溶胶影响气候的主要途径,海盐气溶胶直接辐射强迫在能量收支平衡上起重要作用，并导致洁净的海洋边界层能见度降低”“。
海盐气溶胶作为云凝结核影响云的形成，并在海洋边界层提供5%~90%的云凝结核”。海盐气溶胶的增加可能使云滴粒径减小、降水效率降低从而导致云的反照率增加，这是海盐气溶胶间接影响气候的方式。

参数：
1）雾化海水的粒径大小：较小的海盐颗粒更容易被云水吸收，从而更有效地增加云层的反照率。但是，粒径过小，颗粒将不易沉降到云层中，而粒径过大，则影响其在空中的悬浮时间和分布范围。
2）喷洒的密度和频率：喷洒的海盐水溶液的浓度、总量以及喷洒的频率直接影响到云层中海盐气溶胶的浓度，从而影响云层反照率的改变程度。
3）气象条件：包括风速、湿度、温度等因素，这些条件影响海盐气溶胶的扩散、蒸发和与云滴的相互作用过程。
4）云层的初始状态：云层的厚度、高度、类型（如层云或积云）、以及初始的粒子含量等，这些初始条件决定了附加的海盐气溶胶对云层反照率影响的基线水平。
5）地理位置：不同的地理位置，其海面上空的气象条件和云层特性不同，影响喷洒效果的地理分布。

问题二

请在第1问的基础上,定量地估计若在(当工程参数确定后)实施此项工程,海面接收到的日光辐射量能够降低多少?