Note1: 算法的时间复杂度和空间复杂度

目录

—前言

1.算法效率

1.1 算法的复杂度

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

2.2 大O的渐进表示法

2.3常见时间复杂度计算举例

2.3.1 示例1

2.3.2 示例2

2.3.3 示例3

2.3.4 示例4

2.3.5 示例5

2.3.6 示例6

2.3.7 示例7

2.3.8 示例8

3.空间复杂度

3.1 示例1

3.2 示例2

3.3 示例3

3.4 示例4

4. 复杂度oj练习

4.1 消失的数字

4.1.1 思路

4.1.2 代码

4.2 旋转数组OJ

4.2.1 思路

4.2.2 代码

—前言

本篇文章相对于前面的顺序表和链表而言，比较简单。主要说明算法的时间复杂度和空间复杂度的问题，学习完之后还有一些练习题帮助巩固今天的知识。同时，本篇文章可以帮助大家在以后的刷题过程中择优选择复杂度低的思路，从而提高代码的效率。

1.算法效率

下面，我们就开始本篇的学习：

我们知道，一个题目会有多种算法思路，但是我们怎么判断一个算法的好坏呢？通过代码行数吗？还是通过什么别的方法？

这就引入了复杂度的知识：

1.1 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

下面我们举一个例子来看看：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项（影响力最大的）。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3常见时间复杂度计算举例

2.3.1 示例1

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

2.3.2 示例2

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

2.3.3 示例3

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

2.3.4 示例4

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
//strchr---遍历字符串寻找要找的字符

2.3.5 示例5

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
  int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
  if (a[i-1] > a[I])
 {
   Swap(&a[i-1], &a[i]);
   exchange = 1;
 }
}
  if (exchange == 0）
    break;
 }
}

2.3.6 示例6

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

2.3.7 示例7

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

这个比较简单，时间复杂度：O（N）

2.3.8 示例8

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;

return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

3.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

3.1 示例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

3.2 示例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i<=n;++i)
{
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
 return fibArray;
}

3.3 示例3

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

3.4 示例4

// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;

return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

递归空间复杂度计算，也是空间累加，但是不同的是空间可以重复利用

对空间可以重复利用的解释：

返回的时候会释放空间，释放空间意味着将空间的使用权还给系统，系统可以把空间的使用权赋给别人​​​​​​​​​​​​​​

就像出去住酒店，定了一间房间，酒店将使用权被赋予给你，等你退房的时候，酒店将你的使用权收回，酒店之后可以赋予给别人，也就是下一个定这个房间的人

4. 复杂度oj练习

4.1 消失的数字

力扣（LeetCode）官网 – 全球极客挚爱的技术成长平台

4.1.1 思路

4.1.2 代码

4.2 旋转数组OJ

力扣（LeetCode）官网 – 全球极客挚爱的技术成长平台

4.2.1 思路

4.2.2 代码

(可能超过时间限制）

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本次的分享到这里就结束了！！！

PS：小江目前只是个新手小白。欢迎大家在评论区讨论哦！有问题也可以讨论的！

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