编辑距离的动态规划

编辑距离，也称 Levenshtein 距离，指两个字符串之间互相转换的最少修改次数，通常用于在信息检索和自然语言处理中度量两个序列的相似度。

Question

输入两个字符串 \(s\) 和 \(t\) ，返回将 \(s\) 转换为 \(t\) 所需的最少编辑步数。

你可以在一个字符串中进行三种编辑操作：插入一个字符、删除一个字符、将字符替换为任意一个字符。

如图 14-27 所示，将 kitten 转换为 sitting 需要编辑 3 步，包括 2 次替换操作与 1 次添加操作；将 hello 转换为 algo 需要 3 步，包括 2 次替换操作和 1 次删除操作。

图 14-27 编辑距离的示例数据

编辑距离问题可以很自然地用决策树模型来解释。字符串对应树节点，一轮决策（一次编辑操作）对应树的一条边。

如图 14-28 所示，在不限制操作的情况下，每个节点都可以派生出许多条边，每条边对应一种操作，这意味着从 hello 转换到 algo 有许多种可能的路径。

从决策树的角度看，本题的目标是求解节点 hello 和节点 algo 之间的最短路径。

图 14-28 基于决策树模型表示编辑距离问题

第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 \(dp\) 表

每一轮的决策是对字符串 \(s\) 进行一次编辑操作。

我们希望在编辑操作的过程中，问题的规模逐渐缩小，这样才能构建子问题。设字符串 \(s\) 和 \(t\) 的长度分别为 \(n\) 和 \(m\) ，我们先考虑两字符串尾部的字符 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 。

若 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 相同，我们可以跳过它们，直接考虑 \(s[n-2]\) 和 \(t[m-2]\) 。
若 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 不同，我们需要对 \(s\) 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题。

也就是说，我们在字符串 \(s\) 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 \(s\) 和 \(t\) 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 \(s\) 和 \(t\) 中考虑的第 \(i\) 和第 \(j\) 个字符，记为 \([i, j]\) 。

状态 \([i, j]\) 对应的子问题：将 \(s\) 的前 \(i\) 个字符更改为 \(t\) 的前 \(j\) 个字符所需的最少编辑步数。

至此，得到一个尺寸为 \((i+1) \times (j+1)\) 的二维 \(dp\) 表。

第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程

考虑子问题 \(dp[i, j]\) ，其对应的两个字符串的尾部字符为 \(s[i-1]\) 和 \(t[j-1]\) ，可根据不同编辑操作分为图 14-29 所示的三种情况。