矩阵指数函数的计算及例子

最近在学习矩阵指数函数相关的知识，遇到了一些比较有意思的计算方法，写出来供大家一同学习。

矩阵指数函数的计算是线性系统学习过程中非常重要的部分，下面我将给出四种常见的计算矩阵指数函的方法：

（1）定义法：

对于给定的 $n\times n$ 矩阵 $A$ ，计算 $e^{At}$ 的计算式为：

$e^{At}$ $=I+At+\frac{1}{2!}{A}^{2}{t}^{2}+\frac{1}{3!}{A}^{3}{t}^{3}+\cdots$

此方法并不能够得到矩阵指数函数的解析形式，故不能应用于计算中。但是，此方法能够得到矩阵指数函数的数值解，且在编程计算和获得数值解方面有着很大的优势。

（2）特征值法：

对于给定的 $n\times n$ 矩阵 $A$ ,通过特征值法计算矩阵指数函数的方式，首先要确定矩阵 $A$

其中，

$P=[v_{1},v_{2}, ... ,v_{n}]$

则，计算 $e^{At}$ 的计算式为：

$e^{At}=P\begin{bmatrix} e^{\lambda _{1}t} & & \\ & \ddots & \\ & &e^{\lambda _{n}t} \end{bmatrix}P^{-1}$

例，给定一个连续时间线性时不变系统，其自洽方程为

$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2&-3 \end{bmatrix}x$

求其矩阵指数函数 $e^{At}$ 。

$det(\lambda I-A)=(\lambda +1)(\lambda +2)$

故，矩阵A 的特征值为 $\lambda _{1}=-1,\lambda _{2}=-2$ ，进而求出使 $A$ 化为约当标准型的变换矩阵 $P$ ，进而求出 $P^{-1}$ ：

$P=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ -1& -2 \end{bmatrix} P^{-1}=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1& -1 \end{bmatrix}$

基此，

$e^{At}=P\begin{bmatrix} e^{\lambda _{1}t} & & \\ & \ddots & \\ & &e^{\lambda _{n}t} \end{bmatrix}P^{-1}$

$矩阵指数函数的计算及例子$ $=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1& -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-t} & \\ & e^{-2t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1 &-1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix}$

特征值法仅适用于矩阵的特征值为互异的情况，且高阶矩阵的运算较麻烦。

（3）预解矩阵法：

对于给定的 $n\times n$ 矩阵 $A$ ,通过预解矩阵法计算矩阵指数函数的方式，首先要定出预解矩阵 $(sI-1)^{-1}$ ，则计算 $e^{At}$ 的计算式为：

$e^{At}=\pounds ^{-1}(sI-A)^{-1}$

根据解法2中的题目，由预解矩阵法得：

$(sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix} s &-1 \\ 2& s+3 \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} &\frac{1}{(s+1)(s+2)} \\ \frac{-2}{(s+1)(s+2)}&\frac{s}{(s+1)(s+2)} \end{bmatrix}$

然后利用拉普拉斯反变换得：

$e^{At}= \begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix}$

同样的，当矩阵为高阶矩阵时，采用预解矩阵法的运算量会很大，下面我们介绍一下另一种计算方法。

反之，我们可以利用预解矩阵法的反变换根据矩阵指数函数得到矩阵 $A$ ，具体的放法有如下两种：

1） $A=\frac{d}{dt}(e^{^{At}})\mid _{t=0}$

2） $A=-(\pounds [e^{At}])^{-1}\mid _{s=0}$

（4）有限项展开法：

首先，定义 $f(\lambda )$ 是n阶方阵 $A$ 上的函数；若 $g(\lambda )$ 是多项式且在A的频谱之上，则矩阵函数 $f(A)$ 可定义为 $f(A)=g(A)$ 。对于n次多项式 $f(A)$ 可找到一个n-1次多项式 $g(\lambda )=\alpha _{0}+\alpha _{1}\lambda +\alpha _{2}\lambda^{2}+\cdots +\alpha _{n-1}\lambda^{n-1}$ ， $f(\lambda )=e^{\lambda t}$ ，当然此处的 $g(\lambda )$ 可根据题目中的求解的特征值的具体形式做出一定形式的变化，后面会根据文章的阅读情况做出详细的阐述。