标题~
- 本系列文章主要用于笔者期末复习，行文混乱，请见谅
- 备考补充及零碎知识点
- 问题
- 问题
- 问题：什么是退化的最优解
- 对偶问题的引入
- 对偶问题的一般形式
- 对偶单纯形法
- ❓问题：怎么（什么时候）添加人工变量
- ❓问题：有非零人工变量怎么办
- 问题 为什么对偶问题的最优性一直都是满足的
- 运输问题建模
听说运筹学这门课挺好的，有值得一听的必要；此篇用作课堂总结、期末复习及记录。
或许与教材内容会有很大程度重复。
本系列文章主要用于笔者期末复习，行文混乱，请见谅
本章开始会适当结合一些B站网课【运筹学】应试向基础教程
备考补充及零碎知识点
- 对偶问题的对偶问题就是原问题
- 矩阵表达
- 要弄清楚矩阵
和
分别是什么
- 最好记住这几个矩阵,进而记住弱对偶定理,松弛定理
弱对偶定理
结合着矩阵形式表述
推论
- 原问题最优解目标函数值是对偶问题目标函数值的下界，对偶问题最优解目标函数值是原问题目标函数值的上界。
对偶问题的解一定大于原问题的解
- 原问题有无界解→对偶问题无可行解，对偶问题有无界解→原问题无可行解，但逆不成立（对偶问题无可行解时，原问题也可能无可行解)
- 原问题有可行解而对偶问题无可行解→原问题为无界解，反之(对调”原问题”和”对偶问题”)亦然
最优性
强对偶定理
互补松弛性✨
互补松弛性😦双最优解情况下）若原问题中某一约束条件对应的对偶变量()值为非零，则该约束条件取严格等式;若约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为0，即:
- 若
，则有
， 即松弛变量值为 0
- 若
， 即松弛变量值不为 0 ，则有
证明过程(推荐看一看)
换言之:对偶变量和松弛变量的乘积为0
例子
应用
知道了对偶表的最终表,就知道了飞机变量,从而知道了基变量.
影子价格
定义
单位第种资源在最优方案中做出贡献的估价
做法:通过求导得到每一种资源带来的利润的提升是多少
内涵
资源的影子价格有赖于资源的利用情况，即当目前一组基变量用于获得原问题最优解时，对偶变量每单位对利润的贡献。（需要区别于资源的市场价格)
- 第i种资源未充分利用→其边际价格为0
- 第i种资源的边际价格不为0→其已耗尽
注意
当出现退化的最优解时，会出现第i种资源恰好耗尽，而非稀缺，但其影子价格仍大于0的情况(对应
的第i个约束条件的松弛变量取值为0)，此时
值的任何增加只会带来该种资源的剩余，而不增加利润值。
比如 这种值正好耗尽,同时其他值也耗尽了,这时候只增加这个值,没有用!
问题
什么叫退化的最优解
检验数的意义
问题
为什么
附上课件的解答,这个我也不知道为什么
问题：什么是退化的最优解
对偶问题的引入
所有问题一定能找到对偶问题，但是其对偶问题不一定有意义.
从另一个角度思考
假设公司A想要收购这家公司的全部资源A、B、C自己生产
从公司A的角度思考：
公司A的获利最大化——目标（以最小代价收购）
这家公司愿意出让这些资源——约束（出让所得不小于原有盈利）
以表示A、B与C三种资源的出让代价，
总结
| 原问题 | 对偶问题 |
|---|---|
| 收益最大化 | 代价最小化 |
| 方程的个数,即种类的个数 | 决策变量数 |
| 价值系数 | 对偶问题右端的项向量,即 约束 |
| 资源的 约束 | 价值系数 |
对偶问题的一般形式
原问题
对偶问题
用表示第
种资源的估价
✨以矩阵描述(更加直观)
多做题,就知道什么是对偶了
对称形式
与前面内容有所重复,即
互换,
上面讲的都是对称形式
非对称形式✨✨✨【一定要掌握】
转化有一定的规律,下面是详细的推导过程
规律
类似对称形式的,约束条件的符号决定了变量,变量的符号决定了约束条件
⚠️注意我们说的是max向min转化的问题
⚠️如果反过来,那么最后两行的”变号” “不变号“也要对调.
推导过程
复习单纯形法计算过程
- 考虑所有基变量的列:前m列所有
合起来就变成了矩阵
所以检验数: - 考虑所有飞机变量中的
列:这些列合起来变成了矩阵
所以同理,检验数: - 考虑松弛变量
,松弛变量的价值系数为0,则有
检验数:
剩下的,见小字部分:推导出了②③式,然后换元
举例说明
对偶单纯形法
单纯形法基本思路
先寻找到初始基可行解，判断所有检验数是否小于等于0。若是，查看基变量中是否有人工变量，若无非零人工变量，即找到了最优解;若为否，再找出相邻目标函数值更大的基可行解，并继续判别，直到找出最优解。
❓问题：怎么（什么时候）添加人工变量
❓问题：有非零人工变量怎么办
对偶单纯形法基本思路
同样的，先找对偶问题的可行解再找对偶问题最优解
- 最优性看检验数
- 可行性看右端项
确定初始基解
与单纯形法不同，并不要求资源限量为正
但是，当所有为正，意味着原问题取到可行解，那么此时原问题和对偶问题得到的都是最优解
- 先确定出基，是b里最小的
问题 为什么对偶问题的最优性一直都是满足的
跟单纯形法的区别与联系✨✨
-
单纯形法先确定入基变量，是最大的检验数(检验数：基变量一定为0,一部分小于零一部分大于零)，对偶先确定出基变量，是最小的
【单纯形法先列后行，对偶单纯形法先行后列】
✨✨🙌检验数非正，代表对偶问题有可行解；左边的b非负，代表原问题有可行解。
-
单纯形法随后确定出基变量，是检验数
中最小的，【零和负数忽略！】；对偶单纯形法确定入基变量，选择
最小的【零和正数忽略！】【先算出
的】【
就是每一行
求和的值】
【对偶单纯形法中的跟原单纯形法是相反的，所以事实上是一样的】
-
单纯形法中最后判断的方式是检验数
全部大于等于零；而对偶单纯形法相反，最后判断的是
-
【在后面做题时发现，上面这些条件需要原问题为{min，大于等于}，并且最后转换为max的问题】
例题讲解✨✨🙌
注意看，对偶单纯形法的条件是min还是max【我看到的是min配合大于等于】
注意：对偶问题不需要用对偶表，看视频就好⚠️⚠️⚠️⚠️
下面的例题做法非考试正规做法！！但是求单纯形法规则是一样的
运输问题建模
【考试一般不考原理，要考原理考的也是单纯形法】
【运输问题的思路其实也是单纯形法，但是针对这类问题进行了优化】
产销平衡问题
建立模型
- 模型特点
- 解有上下界
- 产销平衡（有一个多余约束条件）
- 约束条件比较特殊
- 运输表
求解模型【表上作业法】
确定可行解方法①：左上角填充法
尽可能使左上角取得最大值
确定可行解方法②：最小元素法
每一步优先考虑单位运价最小的业务【范围是在整个表里找最小运费】
确定可行解方法③：沃格尔法
找运价最小与次小，二者之差称为罚数，优先选择最大的罚数
迭代方法①：闭回路法
入基变量选择
选择检验数最小【负数绝对值中最大的那个】
- 核心：从非基变量开始，构造回路
- 原理：令起始的非基变量为1，（按照顺时针或者逆时针都可以）为了保证产销平衡的约束条件，下一个基变量减1，再下一个基变量加1，该格子检验数为这一变化带来的运费变化
- 即：遇到空格保持直走，遇到基变量可以选择 90°拐弯，最后计算这一个非基变量对运费带来的变化。所有的非基变量都要算出来，取最小的入基
出基变量选择
画出入基变量的回路，如图所示，回路中偶数点最小的基变量最先变成0
【思路是让某个基变量变成0，如题，此时取2】
产销不平衡问题
产量大于销量
对于这类问题，可以假想一个销地，对于产量大于销量的这部分，统一运往
。
由于是个假想地，实际上就是就地存储在A;的物品数量，因此其运价为
0，新的单位运价表如下:
有转运的问题
产地同时也是销地
产销不确定
- 首先，
是有上限的
- 将产量分为
最小产量和冗余产量，分别放在和
【必须到/可到可不到】
- 假定一个不能被运输的销地，销量由产量减已有销量得到。【
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