分段三次Hermite插值的原理、matlab代码和Python代码

目录

一、分段三次Hermite插值

二、分段三次Hermite插值多项式的推导

三、分段三次Hermite插值的matlab实现

 四、分段三次Hermite插值的Python实现

一、分段三次Hermite插值

已知，求一个分段函数H(x)，使其满足：
（1）

（2）在每个子区间 上，H(x)是次数不超过3的多项式。

称满足上述条件的函数H(x)为分段三次Hermite插值多项式。

二、分段三次Hermite插值多项式的推导

采用基函数的方法来构造。

将表示为：

其中为插值函数，且均为次数不超过3的多项式。为满足插值条件，它们应满足：

    ,    

  由于,故含有因子。可设 

 其中a,b为待定系数。

由，可得。

由，可得。

将a,b代入得

 类似地，将互换，可得： 

 由于，故含有因子。可设

 其中c为待定系数。

由，可得。

类似地， 将互换，可得：

综上所述，三次Hermite插值多项式 的表达式为：

可以证明，其余项为： 

其中，介于之间。

 注：

作为多项式插值，三次已经是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象，因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值。

三、分段三次Hermite插值的matlab实现

例：已知f(x)在节点1，2处的函数值为f(1)=2,f(2)=3,f(x)在节点1，2处的导数值为。求f(x)的两点三次插值多项式及f(x)在x=1.5,1.7处的函数值。

function Hermite(A,B,C)
%输入  A代表分段三次Hermite插值所对应的节点
%      B代表节点对应的函数值
%      C代表节点对应的一阶导数值
%输出  f代表分段三次Hermite插值多项式
syms x a1 a2 b1 b2 df f
a1=(1+2*(x-A(1))/(A(2)-A(1)))*((x-A(2))/(A(1)-A(2)))^2
a2=(1+2*(x-A(2))/(A(1)-A(2)))*((x-A(1))/(A(2)-A(1)))^2
b1=(x-A(1))*((x-A(2))/(A(1)-A(2)))^2
b2=(x-A(2))*((x-A(1))/(A(2)-A(1)))^2
df=B(1)*a1+B(2)*a2+C(1)*b1+C(2)*b2
f=collect(df,x)

在命令行窗口中输入：
>> A=[1,2];
>> B=[2,3];
>> C=[0,-1];
>> Hermite(A,B,C)

最后得到的结果如下：

a1 =
 
(2*x - 1)*(x - 2)^2
 
 
a2 =
 
-(2*x - 5)*(x - 1)^2
 
 
b1 =
 
(x - 1)*(x - 2)^2
 
 
b2 =
 
(x - 1)^2*(x - 2)
 
 
df =
 
2*(2*x - 1)*(x - 2)^2 - (x - 1)^2*(x - 2) - 3*(2*x - 5)*(x - 1)^2
 
 
f =
 
- 3*x^3 + 13*x^2 - 17*x + 9

因此，f(x)的两点三次插值多项式是：

 四、分段三次Hermite插值的Python实现

同样采用上面的例子。

from sympy import *
def Hermite(A,B,C):
    x=Symbol('x')
    a1=Symbol('a1')
    a2=Symbol('a2')
    b1=Symbol('b1')
    b2=Symbol('b2')
    df=Symbol('df')
    f=Symbol('f')
    a1=(1+2*(x-A[0])/(A[1]-A[0]))*((x-A[1])*(A[0]-A[1]))**2
    a2=(1+2*(x-A[1])/(A[0]-A[1]))*((x-A[0])/(A[1]-A[0]))**2
    b1=(x-A[0])*((x-A[0])/(A[1]-A[0]))**2
    b2=(x-A[1])*((x-A[0])*(A[1]-A[0]))**2
    df=B[0]*a1+B[1]*a2+C[0]*b1+C[1]*b2
    f=factor(df)
    return(f)

A=[1,2]
B=[2,3]
C=[0,-1]
f=Hermite(A,B,C)
print(f)

 结果如下：

-3*x**3 + 13*x**2 - 17*x + 9

因此，f(x)的两点三次插值多项式是：