基于Frank Wolfe算法,求解交通分配UE模型(Python & NetWorkX)

目录

一、用户均衡模型简略介绍       

1.1 Wardrop第一原理

1.2 用户均衡模型

1.3 BPR函数 

1.4 用户均衡模型的积分项

 二、Frank Wolfe算法求解步骤

三、代码

3.1 导入必要的库

 3.2 构建交通网络

3.3 绘制交通路网图

3.4 定义BPR函数

3.5 初始化路网流量

3.6 获取 flow_temp

3.7 获取下降方向descent

3.8  定义目标函数

3.9 一维搜索最优步长,并更新流量

3.10 主函数

四、所用文件

一、用户均衡模型简略介绍       

1.1 Wardrop第一原理

  •  道路的利用者,都确切知道网络的交通状态,并试图选择最短路径
  • 当网络达到平衡状态时,每个OD对的各条被使用的路径,行驶时间相等,且行驶时间最短
  • 没有被使用的路径的行驶时间大于或等于最小行驶时间

1.2 用户均衡模型

        满足Wardrop第一原理的交通分配模型,称为用户均衡模型。

        1956年Beckmann提出了一种满足Wardrop第一原理的数学规划模型。模型核心是,交通网络中的用户,都试图选择最短路径,而最终使得被选择的路径的阻抗最小且相等。该数学规划模型为:

fd7612a831da494cb10878b818a11b4b.png

1.3 BPR函数 

        在用户均衡模型中,eq?t_%7Ba%7D为路阻函数,我们一般采用BPR函数,即:

0e7f9bc6af7c4f39921fea731828e573.png

  • eq?FFT_%7Ba%7D,表示最快通过路段a的时间;
  • α常取0.15,β常取4.0 ;
  • eq?C_%7Ba%7D,表示路段a的通行能力;
  • eq?x_%7Ba%7D,表示路段a的流量

1.4 用户均衡模型的积分项

        为便于后续求解,我们将BPR函数代入eq?%7B%5Cint_0%5E%7Bx_a%7D%7Bt_a%5Cleft%28%20w%20%5Cright%29%20dw%7D%7D,进行积分计算,过程如下:

d31f6f796bec47aaa498a7ae90f80730.png

        因此,我们的目标函数为:

f973ee4e60d74f8da888076a53edff1c.png

        当然,系统最优模型,是与用户均衡模型相通的。对于系统最优模型,其目标函数表达式为

 二、Frank Wolfe算法求解步骤

        友情提醒:后面若对代码主体逻辑有疑惑,返回看看这部分。

        步骤1:初始化。基于零流图的路阻,依次搜索每一个OD对 r,s 所对应的最短路径,并将 r,s 间的OD流量,全部分配到对应的最短路径上,得到初始路段流量eq?X_%7B1%7D,并令迭代次数n=1。

        步骤2:更新路阻。根据BPR函数,分别代入每个路段的初始流量,求得阻抗eq?W_%7B1%7D

        步骤3:下降方向。基于阻抗eq?W_%7B1%7D,按照步骤1中的方法(最短路全有全无分配),将流量重新分配到对应路径上,得到临时路段流量eq?%7BX_%7B1%7D%7D%5E%7B*%7D,进而得到eq?%7BX_%7B1%7D%7D%5E%7B*%7D-X_%7B1%7D

        步骤4:搜索最优步长,并更新流量。采用二分法,搜索最优步长eq?step%5E%7B*%7D,并令eq?X_%7B2%7D%3DX_%7B1%7D+step%5E%7B*%7D*%28%7BX_%7B1%7D%7D%5E%7B*%7D-X_%7B1%7D%29。其中,最优步长满足:

b6cb9fb1d5ad47849cf2414fd569b2b5.png

        步骤5:结束条件。如果%5Csum_a%7Bx_%7Ba%7D%5E%7Bn%7D%7D%5Cleqslant%20e,则算法结束;否则n=n+1,转至步骤2。此处的e 表示误差阈值,在代码部分用max_err表示。

三、代码

        代码基于Python的NetWorkX库编写,这样将大大减少我们代码编写的工作量,并且更易于阅读。我们以SiouxFalls交通网络为例,进行交通网络构建与流量分配。

3.1 导入必要的库

import pandas as pd
import numpy as np
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize_scalar
  • pandas,用于读取文件;
  • numpy在计算误差时使用;
  • networkx贯穿整个代码;
  • matplotlib用于绘制交通网络图
  • scipy在搜索最优步长时用到。

 3.2 构建交通网络

def build_network(Link_path, Node_path):
    # 读取点数据、边数据
    links_df = pd.read_csv(Link_path)
    # 需要注意使用from_pandas_edge,其读取的边的顺序和csv中边的顺序有差异
    G = nx.from_pandas_edgelist(links_df, source='O', target='D', edge_attr=['FFT', 'Capacity'], create_using=nx.DiGraph())
    nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_temp')
    nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_real')
    nx.set_edge_attributes(G, 0, 'descent')
    nx.set_edge_attributes(G, nx.get_edge_attributes(G, "FFT"), 'weight')

    # 获取节点位置信息
    nodes_df = pd.read_csv(Node_path)
    node_positions = {}
    for index, row in nodes_df.iterrows():
        node_positions[row['id']] = (row['pos_x'], row['pos_y'])
    # 更新图中节点的位置属性
    nx.set_node_attributes(G, node_positions, 'pos')
    return G
  • Link_path,表示路网文件路径。下载链接见文末,数据示例如下:
O D FFT Capacity
1 2 6 25900.20064
1 3 4 23403.47319
2 1 6 25900.20064
2 6 5 4958.180928
3 1 4 23403.47319
  • Node_path,表示节点文件路径。下载链接见文末,数据示例如下:
id pos_x pos_y
1 2 2
2 13 2
3 2 5
4 5 5
5 9 5
  • flow_real,表示每次迭代更新后的路段流量或初始化流量,所有路段的flow_real组成eq?X_%7Bn%7D
  • flow_temp, 所有路段的flow_temp组成eq?X_%7Bn%7D%5E%7B*%7D
  • descent,表示flow_temp与flow_real的差值,所有路段的descent组成eq?X_%7Bn%7D%5E%7B*%7D-X_%7Bn%7D
  • weight,表示路阻。初始的路阻,由于路段流量都是0,所以直接用FFT。后续将用BPR函数计算

3.3 绘制交通路网图

def draw_network(G):
    pos = nx.get_node_attributes(G, "pos")
    nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_size=200, node_color='lightblue', font_size=10, font_weight='bold')
    plt.show()

         构建交通网络后,我们来看一看这个SiouxFalls网络长什么样子吧

0818a4cbda7b44d89259758c3b4a2051.png

3.4 定义BPR函数

def BPR(FFT, flow, capacity, alpha=0.15, beta=4.0):
    return FFT * (1 + alpha * (flow / capacity) ** beta)
  • FTT,表示最快通过时间;
  • flow,表示路段流量;
  • capacity,表示路段通行能力;
  • alpha和beta,是BPR函数的参数,在此取默认值。

3.5 初始化路网流量

def all_none_initialize(G, od_df):
    # 这个函数仅使用一次,用于初始化
    # 在零流图上,按最短路全有全无分配,用于更新flow_real
    for _, od_data in od_df.iterrows():
        source = od_data["o"]
        target = od_data["d"]
        demand = od_data["demand"]
        # 计算最短路径
        shortest_path = nx.shortest_path(G, source=source, target=target, weight="weight")
        # 更新路径上的流量
        for i in range(len(shortest_path) - 1):
            u = shortest_path[i]
            v = shortest_path[i + 1]
            G[u][v]['flow_real'] += demand
    # 初始化流量后,更新阻抗
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        data['weight'] = BPR(data['FFT'], data['flow_real'], data['Capacity'])

        这个函数仅使用一次,用于初始化。在零流图上,按最短路全有全无分配,用于得到eq?X_%7B1%7D

  • od_df表示pd.Dataframe数据格式的OD流量信息。ODParis.csv示例数据如下:
o d demand
1 2 100
1 3 100
1 4 500
1 5 200
1 6 300
1 7 500

3.6 获取 flow_temp

        flow_temp,即eq?%7BX_%7Bn%7D%7D%5E%7B*%7D

def all_none_temp(G, od_df):
    # 这个是虚拟分配,用于得到flow_temp
    # 每次按最短路分配前,需要先将flow_temp归零
    nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_temp')
    for _, od_data in od_df.iterrows():
        # 每次更新都得读OD,后面尝试优化这个
        source = od_data["o"]
        target = od_data["d"]
        demand = od_data["demand"]
        # 计算最短路径
        shortest_path = nx.shortest_path(G, source=source, target=target, weight="weight")
        # 更新路径上的流量
        for i in range(len(shortest_path) - 1):
            u = shortest_path[i]
            v = shortest_path[i + 1]
            # 更新流量
            G[u][v]['flow_temp'] += demand

3.7 获取下降方向descent

        descent,即eq?%7BX_%7Bn%7D%7D%5E%7B*%7D-X_%7Bn%7D

def get_descent(G):
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        data['descent'] = data['flow_temp'] - data['flow_real']

3.8  定义目标函数

def objective_function(temp_step, G):
    s, alpha, beta = 0, 0.15, 4.0
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        x = data['flow_real'] + temp_step * data['descent']
        s += data["FFT"] * (x + alpha * data["Capacity"] / (beta + 1) * (x / data["Capacity"]) ** (beta + 1))
    return s

        该部分代码,对应本文1.4部分的目标函数,即:

f973ee4e60d74f8da888076a53edff1c.png

        如果需要求解系统最优模型,则目标函数为

        代码则需替换为:

def objective_function(temp_step, G):
    s, alpha, beta = 0, 0.15, 4.0
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        x = data['flow_real'] + temp_step * data['descent']
        s += x * BPR(data["FFT"], x, data["Capacity"])
    return s

3.9 一维搜索最优步长,并更新流量

def update_flow_real(G):
    # 这个函数用于调整流量,即flow_real,并更新weight
    best_step = get_best_step(G)  # 获取最优步长
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        # 调整流量,更新路阻
        data['flow_real'] += best_step * data["descent"]
        data['weight'] = BPR(data['FFT'], data['flow_real'], data['Capacity'])


def get_best_step(G, tolerance=1e-4):
    result = minimize_scalar(objective_function, args=(G,), bounds=(0, 1), method='bounded', tol=tolerance)
    return result.x

3.10 主函数

def main():
    G = build_network("Link.csv", "Node.csv")  # 构建路网
    draw_network(G)  # 绘制交通路网图
    od_df = pd.read_csv("ODPairs.csv")  # 获取OD需求情况
    all_none_initialize(G, od_df)  # 初始化路网流量
    print("初始化流量", list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))

    epoch = 0  # 记录迭代次数
    err, max_err = 1, 1e-4  # 分别代表初始值、最大容许误差
    f_list_old = np.array(list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))
    while err > max_err:
        epoch += 1
        all_none_temp(G, od_df)  # 全有全无分配,得到flow_temp
        get_descent(G)  # 计算梯度,即flow_temp-flow_real
        update_flow_real(G)  # 先是一维搜索获取最优步长,再调整流量,更新路阻

        # 计算并更新误差err
        f_list_new = np.array(list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))  # 这个变量是新的路网流量列表
        d = np.sum((f_list_new - f_list_old) ** 2)
        err = np.sqrt(d) / np.sum(f_list_old)
        f_list_old = f_list_new

    print("均衡流量", list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))
    print("迭代次数", epoch)
    # 导出网络均衡流量
    df = nx.to_pandas_edgelist(G)
    df = df[["source", "target", "flow_real"]].sort_values(by=["source", "target"])
    df.to_csv("网络均衡结果.csv", index=False)


if __name__ == '__main__':
    main()
  • epoch,表示迭代次数
  • err,表示误差初始值
  • max_err,表示最大容许误差
  •  f_list_new, f_list_old分别表示eq?X_%7Bn%7Deq?X_%7Bn-1%7D,用于计算误差

四、所用文件

        下载链接:交通分配

版权声明:本文为博主作者:zy_chai原创文章,版权归属原作者,如果侵权,请联系我们删除!

原文链接:https://blog.csdn.net/m0_61584121/article/details/136590636

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