高斯过程回归(Gaussian Processes Regression, GPR)简介

一、高斯过程简介

高斯过程是一种常用的监督学习方法，可以用于解决回归和分类问题。
高斯过程模型的优点有：

• 预测对观察结果进行了插值
• 预测的结果是概率形式的
• 通用性：可以指定不同的核函数（kernels）形式

高斯过程模型的确定包括：

• 它们不是稀疏的，即它们使用整个样本/特征信息来执行预测
• 高维空间模型会失效，高维也就是指特征的数量超过几十个

值得注意的是，高斯过程模型的优势主要体现在处理非线性和小数据问题上。

参考资料：https://scikit-learn.org/stable/modules/gaussian_process.html

二、高斯分布

1. 一元高斯分布

若一个随机变量服从均值为，方差为的高斯分布，则将其写作，其概率密度函数形式为：

对于均值为0，方差为1的高斯分布可以画出其函数图像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-5, 5, 10000)
y = 1.0/np.sqrt(2.0*np.pi)*np.exp(-1.0*np.power(x, 2)/2.0)
plt.plot(x, y)
plt.grid()

2. 多元高斯分布

对于任意维度的随机变量，其高斯分布可以写作，其中为协方差矩阵，其概率密度函数形式为：

其中协方差矩阵的形式为：

其中

其中c代表样本总数，协方差矩阵反映了不同变量之间的相关性大小，如果各个变量之间不相关，那么该矩阵为单位阵。关于多元高斯分布的一个重要性质就是：多元高斯分布的条件分布同样符合高斯分布。

参考资料：https://zhuanlan.zhihu.com/p/518236536

三、高斯过程回归

顾名思义，高斯过程回归就是通过高斯过程来求解回归问题，回归是指通过适当的建模来拟合一组自变量和因变量之间的函数关系，建模的方式有很多种，最常用的有线性回归，多项式回归等，高斯过程是其中的一种。

1. 高斯过程

将多元高斯分布推广到连续域上的无限维高斯分布，就得到了高斯过程。如下图所示，在时域上，对于每一时刻，相应的表观值都服从高斯分布，即是，那么对于整个时域上的联合分布，满足多元高斯分布，即是

其中每个时刻的均值用一个均值函数刻画，两个不同时刻之间的相关性用一个协方差函数刻画。

因此我们只需要两个因素来确定一个高斯过程：

• 均值函数
• 协方差函数(矩阵)

2.高斯过程回归

高斯过程回归的是通过有限的高维数据来拟合出相应的高斯过程，从而来预测任意随机变量下的函数值。具体而言，对于一组随机变量和目标值，我们假设其服从多元高斯分布，即是：

这其中的问题是需要确定协方差矩阵，它反映了不同采样点之间的相似性大小，合法的协方差矩阵要求是半正定的，因此这里我们需要指定相应的核函数来度量这一相似性，sklearn中提供了很多的核函数，后面介绍。确定了协方差矩阵之后，我们就能根据已有的数据确定变量空间中的无限维高斯分布，并且相应地能够确定任意采样点处的条件高斯分布，即是相应的概率分布，如下图所示：

• 浅谈高斯回归
• 高斯过程 Gaussian Processes 原理、可视化及代码实现
• 快速入门高斯过程（Gaussian process）回归预测

四、sklearn中高斯过程回归的使用

1. 核函数的选择

前面已经说明，核函数的作用是描述不同采样点之间的相似性大小，sklearn中内置了很多核函数，如下图所示：

除了sklearn中提供的核函数之外，也可以自定义核函数。

2. sklearn中高斯过程回归的使用

a. 初始数据

这里我们利用 sklearn.datasets.make_friedman2 生成初始数据，friedman2 生成输入数据是一个 n_sample x 4维的矩阵，下面是其调用及可视化。

from sklearn.datasets import make_friedman2
import matplotlib.pyplot as plt

X, y = make_friedman2(n_samples=1000, noise=0.1, random_state=10)

plt.figure(dpi=300)
ax1 = plt.subplot(221)
ax1.scatter(X[:, 0], y, label='x1-y', s=0.1)
ax1.legend()

ax1 = plt.subplot(222)
ax1.scatter(X[:, 1], y, label='x2-y', s=0.1)
ax1.legend()

ax1 = plt.subplot(223)
ax1.scatter(X[:, 2], y, label='x3-y', s=0.1)
ax1.legend()

ax1 = plt.subplot(224)
ax1.scatter(X[:, 3], y, label='x4-y', s=0.1)
ax1.legend()

b. 高斯过程回归拟合

from sklearn.datasets import make_friedman2
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF, Sum, WhiteKernel
import matplotlib.pyplot as plt

X, y = make_friedman2(n_samples=1000, noise=0.1, random_state=10)

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25, random_state=36)

model_kernel = Sum(RBF([100, 1500, 1, 10], length_scale_bounds='fixed'), WhiteKernel(0.1, noise_level_bounds='fixed'))

model_gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=model_kernel)

model_gpr.fit(X_train, y_train)

print(model_gpr.score(X_test, y_test))

y_mean, y_std = model_gpr.predict(X_test, return_std=True)

plot_x = [i for i in range(X_test.shape[0])]
plt.figure(dpi=300)
plt.scatter(plot_x, y_test, color='red', label='test data')
plt.plot(plot_x, y_mean, color='blue', label='y predict')
plt.legend()

c. 高斯过程回归后验结果分布

from sklearn.datasets import make_friedman2
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import DotProduct, RBF, Sum, Matern, PairwiseKernel
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x_train = np.random.uniform(0, 5, 6).reshape(-1, 1)
y_train = np.sin(np.power(x_train-2.5, 2))

model_kernel = RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-1, 10.0))
model_gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=model_kernel)
model_gpr.fit(x_train, y_train)
plot_x = np.linspace(0, 5, 10000).reshape(-1, 1)
y_mean, y_std = model_gpr.predict(plot_x, return_std=True)
plt.figure(dpi=300)
plt.xlim([0, 5.0])
plt.ylim([-2.0, 2.0])
plt.scatter(x_train, y_train, label="train")
plt.plot(plot_x[:, 0], y_mean, '--', label='predict y')
plt.fill_between(plot_x[:, 0], y_mean-y_std, y_mean+y_std, color='black', alpha=0.1, label=r"predict y $\pm$ std")
plt.legend()

d. 不同核函数拟合结果对比

对于以上c中的数据，这里用了四种不同的核函数来拟合，如下为代码和拟合结果。

from sklearn.datasets import make_friedman2
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import DotProduct, RBF, Matern, PairwiseKernel
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x_train = np.random.uniform(0, 5, 10).reshape(-1, 1)
y_train = np.sin(np.power(x_train-2.5, 2))

model_k1 = DotProduct(sigma_0=1, sigma_0_bounds=(1e-1, 10.0))
model_k2 = RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-1, 10.0))
model_k3 = Matern(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-1, 10.0), nu=1.5)
model_k4 = PairwiseKernel(gamma=1.0, gamma_bounds=(1e-1, 10), metric='poly')

plt.figure(dpi=300)
plt.xlim([0, 5.0])
plt.ylim([-2.0, 2.0])
plt.scatter(x_train, y_train, label="train")
plot_x = np.linspace(0, 5, 10000).reshape(-1, 1)

for model_kernel in [model_k1, model_k2, model_k3, model_k4]:
    model_gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=model_kernel)
    model_gpr.fit(x_train, y_train)
    y_mean = model_gpr.predict(plot_x)
    plt.plot(plot_x[:, 0], y_mean, '--', color=(np.random.random(), np.random.random(), np.random.random()), label='kernels: {}'.format(model_kernel.__str__()))
plt.legend()