参考资料
1. 基本模型建立
我们作如下假设：
- 车辆所受的空气的力只会对车身坐标系x轴方向上的运动有影响，y轴方向和沿着z轴的旋转不会受到空气力的影响；
- 车辆运行在二维平面中，也就是z轴无速度。
- 车辆轮胎力运行在线性区间。
在运动学模型中，我们假设了单车模型中前后轮的速度矢量与轮子方向一致。当车辆速度很高时，单车模型中前后轮的速度矢量不再与轮子方向一致。此时运动学模型就不能准确地描述车辆的运动状态，这就需要使用动力学模型对车辆进行建模。
车辆单车模型中需要考虑两个维度的信息，这两个维度分别指代表车辆横向位置信息的 和表示车辆偏航角信息的
。他们可以大致分为两类： 纵向力(Longitudinal force) 和 横向力（Lateral force）, 纵向力就是使车辆前后移动的力量，而横向力则促使车辆在横向移动，在力的相互作用过程中，轮胎起着决定性的作用（根据一定的物理常识，轮胎是车辆运动的一个重要的力的来源）。
之所以叫二自由度的车辆动力学模型，就是因为二自由度指的是横向上y轴的运动和绕z轴的转动，忽略了纵向x轴的运动。
建立如下坐标系，X,Y表示全局坐标系，x,y则表示车身坐标系，x轴方向沿车辆中轴方向向前，y轴方向朝右，其车辆中心在质心位置。车辆的状态信息表示为，即
方向上的位置，偏航角和速度。
平动
首先假设车辆为一个质点，对该质点进行受力分析，并根据牛顿第二定律得
其中，
-
为车辆重心处
轴方向的惯性加速度，满足
-
和
分别表示车前轮和后轮所受到的力在y轴方向上的分量。
-
和
分别表示车前轮和后轮所受到的力在x轴方向上的分量。
-
表示车在x轴方向受到的空气阻力。
平动过程中，有两 种力共同作用产生加速度 : 车辆延
轴产生的惯性加速度
和车辆绕旋转中心
旋转产生的向心加速度
将公式(2)带入公式(1)得
同理，沿着x轴有
其中，
转动
假设车辆为刚体，刚体绕重心转动，该运动过程使用力矩和转动惯量进行描述。 车辆绕Z轴旋转产生的力矩平衡，对应的偏航动力学方程为
其中， 和
代表前后轮胎到重心的距离。
2. 横向（y方向）受力计算
车辆轮胎在y轴方向受到的力、
实验结果表明，其大小正比于轮胎的侧滑角。其侧滑角如下图所示：
根据上图，前轮侧滑角为
其中， 代表速度矢量与车辆纵轴的夹角，
代表前轮转向角。
同理，由于后轮转向角 为 0 ，故后轮侧滑角为
车辆前轮的横向力可以表示为
其中，比例常数 代表每个前轮的转弯刚度(cornering stiffness)。
同理后轮的横向力可以写为
其中，比例常数 代表每个后轮的转弯刚度(cornering stiffness)。
3. 横向动力学模型推导
点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用 和
表示，轴距表示为
。
车辆平动产生的速度分量 和
，以及绕点
转动产生的线速度
和
(根据角速度与线速度的关系
得到)组成。根据上图得
由于通常情况下速度矢量的夹角很小，可以使用小角度近似原理
得
将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(3)中得
等式(13)左右两边同时除以 ，分别提取
和
项得
转化为矩阵形式如下
同理，将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(4)中得
等式(16)左右两边同时除以 ，分别提取
和
项得
等效的矩阵形式为
根据等式(15)和(18)得
注意：上述动力学方程的推导建立在车辆侧滑角很小的情况下，这时的轮胎作用力与侧滑角可以近似为线性关系。当侧滑角很大时，轮胎作用力与侧滑角就不再是线性关系。
补充——考虑路面坡度角
如果还额外考虑路面坡度角（road bank angles）的影响，则公式（1）应写为
式中
为路面坡度角，如下图所示
转动过程不受坡度角影响，即公式（4)不变。因此，其它按部就班推导即可。
4. 纵向（x方向）受力计算
车辆在 轴方向的力
与轮胎的滑比
成正比。其定义为:
因此有:
其中 为纵向的轮胎刚性参数（tire stiffness parameters)。
对于空气阻力 :
另外在全局坐标系下:
联立等式(3-2),(21),(22),(23)，得
5. 动力学模型总结
联立等式(14)，(17)，(24)，(25)得
文章出处登录后可见！
