目录
一、一些关键概念的引入
1.1.离散傅里叶变换（DFT）
1.2快速傅里叶变换（FFT）
1.3.采样频率以及采样定率
1.4.如何理解采样定理
二、使用scipy包实现快速傅里叶变换
2.1.产生原始信号——原始信号是三个正弦波的叠加
2.2.快速傅里叶变换
2.3.FFT的原始频谱
2.4.将振幅谱进行归一化和取半处理
三、完整代码
一、一些关键概念的引入
1.1、离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，经过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。可是它的致命缺点是：计算量太大，时间复杂度过高，当采样点数过高的时候，计算缓慢，由此出现了DFT的快速实现，即下面的快速傅里叶变换FFT。
1.2、快速傅里叶变换（FFT）
计算量更小的离散傅里叶的一种实现方法。快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的
1.3、采样频率以及采样定理
采样频率，也称为采样速度或者采样率，定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数，它用赫兹（Hz）来表示。采样频率的倒数是采样周期或者叫做采样时间，它是采样之间的时间间隔。通俗的讲采样频率是指计算机每秒钟采集多少个信号样本。
采样定理 ，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通信与信号处理学科中的一个重要基本结论。采样定理指出，若是信号是带限的，而且采样频率高于信号带宽的两倍，那么，原来的连续信号能够从采样样本中彻底重建出来。
定理的具体表述为：在进行模拟/数字信号的转换过程当中，当采样频率fs大于信号中最高频率fmax的2倍时,即 fs>2*fmax
采样以后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，通常实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍；
1.4、如何理解采样定理？
在对连续信号进行离散化的过程当中，不免会损失不少信息，就拿一个简单地正弦波而言，若是我1秒内就选择一个点，很显然，损失的信号太多了，光着一个点我根本不知道这个正弦信号究竟是什么样子的，天然也没有办法根据这一个采样点进行正弦波的还原，很明显，我采样的点越密集，那越接近原来的正弦波原始的样子，天然损失的信息越少，越方便还原正弦波。故而
采样定理说明采样频率与信号频率之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。 它为采样率创建了一个足够的条件，该采样率容许离散采样序列从有限带宽的连续时间信号中捕获全部信息。
二、使用scipy包实现快速傅里叶变换
本节不会说明FFT的底层实现，只介绍scipy中fft的函数接口以及使用的一些细节。
2.1、产生原始信号——原始信号是三个正弦波的叠加
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft,ifft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False #显示负号
#采样点选择1400个，由于设置的信号频率份量最高为600赫兹，根据采样定理知采样频率要大于信号频率2倍，因此这里设置采样频率为1400赫兹（即一秒内有1400个采样点，同样意思的）
x=np.linspace(0,1,1400)
#设置须要采样的信号，频率份量有200，400和600
y=7*np.sin(2*np.pi*200*x) + 4*np.sin(2*np.pi*400*x)+6*np.sin(2*np.pi*600*x)
plt.figure()
plt.plot(x,y)
plt.title('原始波形')
plt.figure()
plt.plot(x[0:50],y[0:50])
plt.title('原始部分波形（前50组样本）')
plt.show()这里原始信号的三个正弦波的频率分别为，200Hz、400Hz、600Hz,最大频率为600赫兹。根据采样定理，fs至少是600赫兹的2倍，这里选择1400赫兹，即在一秒内选择1400个点。
原始的函数图像以下：
由图可见，因为采样点太过密集，无法查看，切片前100组数据：
二、快速傅里叶变换
其实scipy和numpy同样，实现FFT很是简单，仅仅是一句话而已，函数接口以下：
from scipy.fftpack import fft,ifft
from numpy import fft,ifft
# 其中fft表示快速傅里叶变换，ifft表示其逆变换。具体实现以下：
fft_y=fft(y) #快速傅里叶变换
print(len(fft_y))
print(fft_y[0:5])
'''运行结果以下：
1400
[-4.18864943e-12+0.j 9.66210986e-05-0.04305756j 3.86508070e-04-0.08611996j
8.69732036e-04-0.12919206j 1.54641157e-03-0.17227871j]
'''咱们发现如下几个特色：
（1）变换以后的结果数据长度和原始采样信号是同样的
（2）每个变换以后的值是一个复数，为a+bj的形式，那这个复数是什么意思呢？
复数a+bj在坐标系中表示为（a,b），故而复数具备模和角度，快速傅里叶变换具备
“振幅谱”，“相位谱”，它其实就是经过对快速傅里叶变换获得的复数结果进一步求出来的，
那这个直接变换后的结果是否是就是我须要的，固然是须要的，在FFT中，获得的结果是复数，
（3）FFT获得的复数的模（即绝对值）就是对应的“振幅谱”，复数所对应的角度，就是所对应的“相位谱”，如今能够画图了。
三、FFT的原始频谱
N=1400
x = np.arange(N) # 频率个数
abs_y=np.abs(fft_y) # 取复数的绝对值，即复数的模(双边频谱)
angle_y=np.angle(fft_y) #取复数的角度
plt.figure()
plt.plot(x,abs_y)
plt.title('双边振幅谱（未归一化）')
plt.figure()
plt.plot(x,angle_y)
plt.title('双边相位谱（未归一化）')
plt.show()显示结果以下：
注意：咱们在此处仅仅考虑“振幅谱”，再也不考虑相位谱。
咱们发现，振幅谱的纵坐标很大，并且具备对称性，这是怎么一回事呢？
关键：关于振幅值很大的解释以及解决办法——归一化和取一半处理
好比有一个信号以下：
Y=A1+A2*cos(2πω2+φ2）+A3*cos(2πω3+φ3）+A4*cos(2πω4+φ4）
通过FFT以后，获得的“振幅图”中，
第一个峰值（频率位置）的模是A1的N倍，N为采样点，本例中为N=1400，此例中没有，由于信号没有常数项A1
第二个峰值（频率位置）的模是A2的N/2倍，N为采样点，
第三个峰值（频率位置）的模是A3的N/2倍，N为采样点，
第四个峰值（频率位置）的模是A4的N/2倍，N为采样点，
依次下去……
考虑到数量级较大，通常进行归一化处理，既然第一个峰值是A1的N倍，那么将每个振幅值都除以N便可
FFT具备对称性，通常只须要用N的一半，前半部分便可。
四、将振幅谱进行归一化和取半处理
先进行归一化
normalization_y=abs_y/N #归一化处理（双边频谱）
plt.figure()
plt.plot(x,normalization_y,'g')
plt.title('双边频谱(归一化)',fontsize=9,color='green')
plt.show()结果为：
如今咱们发现，振幅谱的数量级不大了，变得合理了，接下来进行取半处理：
half_x = x[range(int(N/2))] #取一半区间
normalization_half_y = normalization_y[range(int(N/2))] #因为对称性，只取一半区间（单边频谱）
plt.figure()
plt.plot(half_x,normalization_half_y,'b')
plt.title('单边频谱(归一化)',fontsize=9,color='blue')
plt.show()
这就是咱们最终的结果，须要的“振幅谱”。
3、完整代码
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft,ifft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False #显示负号
#采样点选择1400个，由于设置的信号频率份量最高为600赫兹，根据采样定理知采样频率要大于信号频率2倍，因此这里设置采样频率为1400赫兹（即一秒内有1400个采样点，同样意思的）
x=np.linspace(0,1,1400)
#设置须要采样的信号，频率份量有200，400和600
y=7*np.sin(2*np.pi*200*x) + 5*np.sin(2*np.pi*400*x)+3*np.sin(2*np.pi*600*x)
fft_y=fft(y) #快速傅里叶变换
N=1400
x = np.arange(N) # 频率个数
half_x = x[range(int(N/2))] #取一半区间
abs_y=np.abs(fft_y) # 取复数的绝对值，即复数的模(双边频谱)
angle_y=np.angle(fft_y) #取复数的角度
normalization_y=abs_y/N #归一化处理（双边频谱）
normalization_half_y = normalization_y[range(int(N/2))] #因为对称性，只取一半区间（单边频谱）
plt.subplot(231)
plt.plot(x,y)
plt.title('原始波形')
plt.subplot(232)
plt.plot(x,fft_y,'black')
plt.title('双边振幅谱(未求振幅绝对值)',fontsize=9,color='black')
plt.subplot(233)
plt.plot(x,abs_y,'r')
plt.title('双边振幅谱(未归一化)',fontsize=9,color='red')
plt.subplot(234)
plt.plot(x,angle_y,'violet')
plt.title('双边相位谱(未归一化)',fontsize=9,color='violet')
plt.subplot(235)
plt.plot(x,normalization_y,'g')
plt.title('双边振幅谱(归一化)',fontsize=9,color='green')
plt.subplot(236)
plt.plot(half_x,normalization_half_y,'blue')
plt.title('单边振幅谱(归一化)',fontsize=9,color='blue')
plt.show()
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