一. 了解TPS问题
- 旅行商问题
TSP问题（Travelling Salesman Problem）即旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
TSP 问题是一个组合优化问题，在上个学期学过的算法课中学习到旅行商问题也是一个 NP 完全问题，使用通常的解法往往需要耗费大量的时间，使用遗传算法，在较短的时间里找到一个可接受的解，但是不一定是最优的解。
- 遗传算法
通过书本以及老师在课堂上对进化算法与遗传算法这一章节的讲解，可以对遗传算法有一个初步的了解。
遗传算法（Genetic Algorithm, GA）起源于对生物系统所进行的计算机模拟研究。它是模仿自然界生物进化机制发展起来的随机全局搜索和优化方法，借鉴了达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说。其本质是一种高效、并行、全局搜索的方法，能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最佳解。
受达尔文进化论“物竞天择，适者生存”思想的启发，遗传算法模拟物竞天择的生物进化过程，通过维护一个潜在解的群体执行了多方向的搜索，并支持这些方向上的信息构成和交换。是以面为单位的搜索，比以点为单位的搜索，更能发现全局最优解。遗传算法是模仿生物遗传学和自然选择机理，通过人工方式结构的一类优化搜索算法，是对生物进化过程进行的一种数学仿真，是进化计算的一种最重要形式。
二. 算法实现
在本课程时学习到了遗传算法的基本流程，如下图：
图 1遗传算法的流程图
1. 初始化种群
- 初始化初始化并种群的基本参数
图 2 初始化并种群的基本参数
其中包括设定了种群的数目大小，citynum=20，也就是说这个旅行商TSP问题需要走过20个城市，坐标的大小范围在0-100之间也是规定了种群的空间范围，迭代次数为100，交叉概率pc以及变异概率pm。
- 随机产生初始化群体的坐标位置以及计算城市之间的距离
图 3 随机产生初始化群体的坐标位置以及计算城市之间的距离
在已经定义的城市坐标的范围下，通过random随机函数，依次为0-20个城市定义坐标，再通过已有的坐标的x,y计算城市之间的距离。
2.计算适应度
从第一个城市开始对进行解码，通过calFitness函数得到计算路径距离矩阵
图 4 计算线路距离矩阵
在主函数中再进行适应度的计算，通过贪婪策略，逐次的遍历，从0到popsize也就是100，输入pops[i]以及dis_matrix得到100次每个城市的fits。
在其中找到最小的解，保留最优的解，也就是最好的适应度，并输出初代最优值。
图 5 计算适应度
3. 选择操作
选择算子可视为模拟自然选择的一个自然界选择的一个人工版，体现了进化论中的“优胜劣汰”的思想，其执行主要依赖于个体的适应度。在遗传算法在这里的选择中有轮盘赌选择，随机遍历抽样，局部选择，截断选择以及锦标赛选择。其中最常用的是轮盘赌选择，以及锦标赛选择这两种选择操作。在这里使用的是锦标赛选择算法。
参考课本以及代码，可以总结出，锦标赛方法选择策略每次从种群中取出一定数量个体，然后选择其中最好的一个进入子代种群。重复该操作，直到新的种群规模达到原来的种群规模。联赛选择的执行过程如下:
步骤1从群体中随机选择M个个体，计算每个个体的目标函数值;
步骤2根据每个个体的目标函数值，计算其适应度;
步骤3选择适应度最大的个体。
类似于赌轮选择，联赛选择每执行一次仅选择-一个个体。联赛选择的执行过程相对比较简单,但是需要定义一个额外的参数M。实际上,M决定了群体的选择压。
在这里M就是之前定义过的锦标赛小组大小tournament_size = 5。
图 6锦标赛选择算子
4. 交叉操作
通过交叉算子来维持种群的多样性，应该说交叉算子是遗传算法中最重要的操作，也是遗传算法区别于其他算法之。所在针对不同的优化问题，有多种不同的交叉算子，例如，单点交叉，两点交叉，顺序交叉等。在这里使用的是顺序交叉的算法。
顺序交叉：
在两个父代染色体中随机选择起始和结束位置，将父代染色体1该区域内的基因复制到子代1相同位置上，再在父代染色体2上将子代1中缺少的基因按照顺序填入。另一个子代以类似方式得到。
假设两个父代：A=764235801，B=073684152
查找交换基因，（交叉位同样选第四位和第七位）比如A当中235要用684去换，B中的684要用235换，那么将A中的684和B中的235都换成,得到A’=7HH235H01,B’=07H6841HH,然后将H都移到交叉位里面，将原来交叉位里面的数字都左移到最左边。再将H替换，上面的H用684换，下面的H用235换。最后顺序交叉的结果为A’’’=135|684|017,B’’’=684|235|107
图 7 顺序交叉算子
在这里先初始化孩子，父母两个。
随机在[0,1]之间生成一个均匀分布的随机数rand。如果rand>=设定的交叉概率pc，则孩子保留父代中的一个。否则先使child复制parent1，再通过顺序交叉与parent2不断交叉并更新自己。
5. 变异操作
遗传算法的变异算子旨在模仿生物界的基因突变过程。变异算子对执行完交叉操作后的群体中的每个个体以概率pm执行变异操作。在这里的变异操作使用的是，基本位变异算子。
基本位变异算子是最简单和最基本的变异操作算子。对于基本遗传算法中用二进制编码符号串所表示的个体，若需要进行变异操作的某一基因座上的原有基因值为0，则变异操作将该基因值变为1；反之，若原有基因值为1，则变异操作将其变为0。
基本位变异算子的具体执行过程如下：
(1)对个体的每一个基因座，依变异概率Pm指定其为变异点；
(2)对每一个指定的变异点，对其基因值做取反运算或用其他等位基因值来代替，从而产生出一个新的个体；
图 8 变异操作
首先对每一个个体的i个二进制位，在[0,1]之间随机产生l个均匀分布的随机数,记为rand…,randi。 如果randi;<pm(i∈{1,2,…,l}),则对第t个二进制位执行取反操作mut_pos1与mut_pos2进行交换数。每次都加入至pops_mutate[]数组中。
6. 是否满足条件
经过了计算适应度，锦标赛选择算子，交叉算子，变异算子后还满足while iteration <= generation的条件。符合条件即可成功的跳出while循环，输出路径图。
图 9是否满足条件
三. 结果
图 10 初始城市连接图（左） 与 遗传算法优化后的城市连接图（右）
图 11 100次迭代的输出最优解
在呈现出初始城市连接图后开始输出初代最优值，到第0代依次到第100代，最后输出在100次迭代下的最优路径。
可以看到种群的初始个体数目设置的越多，产生的个体种类就越多，进而在比较少的进化次数中就能找到较优解，但是单次进化的时间会变长。此外变异因子不同值也会影响进化的进程。在本次实验中可以看到刚开始最优解变化很快，到46次时开始趋于稳定，都是435.9。
四.结果分析与总结
在上学期算法与数据结构中重点学过旅行商问题，了解到旅行商是一个 NP 完全问题，不过是通过贪心算法以及回溯算法进行求解的，使用通常的解法往往需要耗费大量的时间。在人工智能课上也同样学过遗传算法，我感觉是一个难点，难理解，难实现。一方面是难以理解遗传算法的原理，以及完整流程的具体执行意义：另一方面是，专业名词种群、选择、交叉、变异、适应度函数、编码、解码等在算法中的作用。比如为什么要进行选择算子我就理解了很久，最后自己概括为使适应度相对较好的传下去，物竞天择，适者生存，在目标为最优解的前提下相当于在自然界中的种内斗争以及种间斗争，只有强大，能适应种群的才可以活下来，这里我们选择的城市之间的路径代价的操作是人为操作的，然后选择其中最好的一个进入子代种群。重复该操作，直到新的种群规模达到原来的种群规模。
受达尔文进化论“物竞天择，适者生存”思想的启发，遗传算法模拟物竞天择的生物进化过程，通过维护一个潜在解的群体执行了多方向的搜索，并支持这些方向上的信息构成和交换。在课程的学习过程中，已经知道了遗传算法的基本流程，需要对每一个决策变量都需要进过，初始化种群，计算适应度，锦标赛选择算子，交叉算子，变异算子，判断符合条件。
通过网络上已有关于遗传算法的相关资料，不断整合，对遗传算法需要的每一个部分分次的学习，理解清楚每一部分的功能。
迭代次数为100次，在本次实验中可以看到刚开始最优解变化很快，到中期时开始趋于稳定，知道100次时得到最优解。这时得到的解是在较短的时间里找到一个可接受的解，但是不一定是最优的解。遗传算法的思想解决旅行商问题，满足了时间复杂度可接受，具有较强的全局搜索能力，而且又不会陷入局部最优，在计算精度要求较高时，计算时间少。缺点是易陷入局部早熟，收敛性能差，由连续问题归纳到组合问题求解，使得精度受到很大的影响。
有查资料知道了，由于遗传算法的整体搜索策略和优化搜索方法在计算是不依赖于梯度信息或其它辅助知识, 而只需要改变搜索方向的目标函数和相应的适应度函数,所以遗传算法提供了一种求解复杂系统问题的通用框架, 它不依赖于问题的具体领域,所以广泛应用于组合优化、机械设计、数学问题、地质方面、信号处理、软件工程和人工生命等领域。可以初代种群产生之后，按照适者生存和优胜劣汰的原理，逐代演化产生出越来越好的近似解，在每一代，根据问题域中个体的适应度大小选择个体，并借助于自然遗传学的遗传算子进行组合交叉和变异，产生出代表新的解集的种群。就是由于这个遗传算法提供的一种求解复杂系统问题的通用框架以及适者生存和优胜劣汰的原理，可以解作业中的第三题作业3，习题5-16 用遗传算法求F(x)=xcosx+2 的最大值这种目标函数的题目，解决问题近似最优解；也可以求解像TSP这种的复杂的NP完全问题，用于组合优化问题得到在一定情况下的最优解决方案。
全部代码：
import math
import random
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
# 添加这条可以让图形显示中文，字体显示为黑体
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 适应度的计算
def calFitness(line, dis_matrix):
# 贪婪策略得到距离矩阵（解码过程）
# 计算路径距离（评价函数）
dis_sum = 0 # 路线距离
dis = 0
for i in range(len(line)):
if i < len(line) - 1:
# 依次计录一个数以及下一个数的距离，存入城市间的距离矩阵
dis = dis_matrix.loc[line[i], line[i + 1]]
dis_sum = dis_sum + dis
else:
# 最后一个数，无下一个数的情况
dis = dis_matrix.loc[line[i], line[0]]
dis_sum = dis_sum + dis
# 返回城市间的路线距离矩阵
return round(dis_sum, 1)
# 联赛选择算子
def tournament_select(pops, popsize, fits, tournament_size):
new_pops, new_fits = [], []
# 步骤1 从群体中随机选择M个个体，计算每个个体的目标函数值
while len(new_pops) < len(pops):
tournament_list = random.sample(range(0, popsize), tournament_size)
tournament_fit = [fits[i] for i in tournament_list]
# 转化为df方便索引
tournament_df = pd.DataFrame \
([tournament_list, tournament_fit]).transpose().sort_values(by=1).reset_index(drop=True)
# 步骤2 根据每个个体的目标函数值，计算其适应度
fit = tournament_df.iloc[0, 1]
pop = pops[int(tournament_df.iloc[0, 0])]
# 步骤3 选择适应度最大的个体
new_pops.append(pop)
new_fits.append(fit)
return new_pops, new_fits
# 交叉算子
def crossover(popsize, parent1_pops, parent2_pops, pc):
child_pops = []
for i in range(popsize):
# 初始化
child = [None] * len(parent1_pops[i])
parent1 = parent1_pops[i]
parent2 = parent2_pops[i]
if random.random() >= pc:
child = parent1.copy() # 随机生成一个（或者随机保留父代中的一个）
random.shuffle(child)
else:
# parent1
start_pos = random.randint(0, len(parent1) - 1)
end_pos = random.randint(0, len(parent1) - 1)
if start_pos > end_pos:
tem_pop = start_pos
start_pos = end_pos
end_pos = tem_pop
child[start_pos:end_pos + 1] = parent1[start_pos:end_pos + 1].copy()
# parent2 -> child
list1 = list(range(end_pos + 1, len(parent2)))
list2 = list(range(0, start_pos))
list_index = list1 + list2
j = -1
for i in list_index:
for j in range(j + 1, len(parent2)):
if parent2[j] not in child:
child[i] = parent2[j]
break
child_pops.append(child)
return child_pops
# 变异操作
def mutate(pops, pm):
pops_mutate = []
for i in range(len(pops)):
pop = pops[i].copy()
# 随机多次成对变异
# 随机选出两个位置进行交换
t = random.randint(1, 5)
count = 0
while count < t:
if random.random() < pm:
mut_pos1 = random.randint(0, len(pop) - 1)
mut_pos2 = random.randint(0, len(pop) - 1)
#如果不相等则进行取反的操作，这里使用交换
if mut_pos1 != mut_pos2:
tem = pop[mut_pos1]
pop[mut_pos1] = pop[mut_pos2]
pop[mut_pos2] = tem
pops_mutate.append(pop)
count += 1
return pops_mutate
# 画路径图
def draw_path(line, CityCoordinates):
x, y = [], []
for i in line:
Coordinate = CityCoordinates[i]
x.append(Coordinate[0])
y.append(Coordinate[1])
x.append(x[0])
y.append(y[0])
plt.plot(x, y, 'r-', color='#FF3030', alpha=0.8, linewidth=2.2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
# 参数
CityNum = 20 # 城市数量
MinCoordinate = 0 # 二维坐标最小值
MaxCoordinate = 101 # 二维坐标最大值
# GA参数
generation = 100 # 迭代次数
popsize = 100 # 种群大小
tournament_size = 5 # 锦标赛小组大小
pc = 0.95 # 交叉概率
pm = 0.1 # 变异概率
# 随机生成城市的坐标,城市序号为0,1,2,3...直到CityNum的数目20
CityCoordinates = \
[(random.randint(MinCoordinate, MaxCoordinate), random.randint(MinCoordinate, MaxCoordinate)) for
i in range(CityNum)]
# 计算城市之间的距离
dis_matrix = \
pd.DataFrame(data=None, columns=range(len(CityCoordinates)), index=range(len(CityCoordinates)))
for i in range(len(CityCoordinates)):
xi, yi = CityCoordinates[i][0], CityCoordinates[i][1]
for j in range(len(CityCoordinates)):
xj, yj = CityCoordinates[j][0], CityCoordinates[j][1]
dis_matrix.iloc[i, j] = round(math.sqrt((xi - xj) ** 2 + (yi - yj) ** 2), 2)
iteration = 0
# 初始化,随机构造
pops = \
[random.sample([i for i in list(range(len(CityCoordinates)))], len(CityCoordinates)) for
j in range(popsize)]
#画出随机得到的城市连接图
draw_path(pops[i], CityCoordinates)
# 计算适应度
fits = [None] * popsize
for i in range(popsize):
fits[i] = calFitness(pops[i], dis_matrix)
# 保留当前最优,最小的fits为最优解
best_fit = min(fits)
best_pop = pops[fits.index(best_fit)]
print('初代最优值 %.1f' % (best_fit))
best_fit_list = []
best_fit_list.append(best_fit)
while iteration <= generation:
# 锦标赛赛选择
pop1, fits1 = tournament_select(pops, popsize, fits, tournament_size)
pop2, fits2 = tournament_select(pops, popsize, fits, tournament_size)
# 交叉
child_pops = crossover(popsize, pop1, pop2, pc)
# 变异
child_pops = mutate(child_pops, pm)
# 计算子代适应度
child_fits = [None] * popsize
for i in range(popsize):
child_fits[i] = calFitness(child_pops[i], dis_matrix)
# 一对一生存者竞争
for i in range(popsize):
if fits[i] > child_fits[i]:
fits[i] = child_fits[i]
pops[i] = child_pops[i]
if best_fit > min(fits):
best_fit = min(fits)
best_pop = pops[fits.index(best_fit)]
best_fit_list.append(best_fit)
print('第%d代最优值 %.1f' % (iteration, best_fit))
iteration += 1
# 路径顺序
print(best_pop)
draw_path(best_pop, CityCoordinates)
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