参考资料

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在上一篇整理总结了扩展卡尔曼滤波。扩展卡尔曼滤波通过一阶泰勒展开得到近似的线性状态转移矩阵与观测矩阵。EKF的一个最大的问题就是求解雅可比矩阵计算量比较大，因此这里再介绍另一种可用于非线性系统的卡尔曼滤波——无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）。

1. 无迹变换

在应用KF时面临的主要问题就是非线性过程模型和观测模型的处理。

对于我们想要估计的状态，在k时刻满足均值为学习卡尔曼滤波（三）——无迹卡尔曼滤波 ,方差为的一个高斯分布，KF能够使用的前提就是所处理的状态是满足高斯分布的，对于非线性的情况下，EKF是寻找一个线性函数来近似这个非线性函数，而UKF就是去找一个与真实分布近似的高斯分布。

UKF的基本思路就是：近似非线性函数的概率分布要比近似非线性函数本身要容易

如何去找一个与真实分布近似的高斯分布呢？——找一个与真实分布有着相同的均值和协方差的高斯分布。

如何去找这样的均值和方差呢？——无迹变换。

无迹变换的核心理念：

无迹变换要解决的问题是：已知某随机变量（多维情形下是随机向量）的概率分布（均值和方差），求其经过某非线性函数学习卡尔曼滤波（三）——无迹卡尔曼滤波变换后的概率分布。

基于上述思想，无迹变换的主要步骤为：

根据某种规则对随机变量的概率分布进行确定性采样，并为采样点分配权重（均值权重和方差权重），采样点我们通常称之为 sigma 点；
将每一个 sigma 点进行非线性变换，得到新的 sigma 点；
对非线性变换后的新的 sigma 点进行加权求和，分别计算加权均值和加权方差，用加权均值和加权方差近似表征随机变量经非线性变换后的概率分布。

无迹变换主要包括两种形式：一般形式的无迹变换和比例无迹变换。两种无迹变换的区别主要体现在采样规则和权重计算上。比例无迹变换是对前者做出的改进。

假设存在学习卡尔曼滤波（三）——无迹卡尔曼滤波维随机向量，其服从均值和协方差的正态分布：

将经过非线性函数进行变换，得到随机向量，我们使用一般形式的无迹变换估计的概率分布。一般形式的无迹变换最早由 Julier 等人提出，其主要操作流程如下所述：

步骤一：参数选择与权重计算

一般形式的无迹变换只涉及一个外部引入参数，各 sigma 点（共个）的权重分配如下：

其中, , 表征了 sigma 点相对均值的散布程度，越大，非均值处的 sigma 点距离均值越远，且所占权重越小, 而均值处 sigma 点所占权重则相对越大。对于高斯问题，是一个比较好的选择，对于非高斯问题（无迹变换也适用于非高斯问题），应该选择其它更恰当的值。
步骤二：确定性采样

通常情况下, sigma 点位于均值处及对称分布于主轴的协方差处（每维两个）。按照如下方法采样得到个 sigma 点, 构成的点集矩阵 :

其中, 表示矩阵作 Cholesky分解后下三角矩阵的第列, 同理。
Cholesky分解
步骤三：sigma 点非线性变换

将每个 sigma 点（即的每一列）进行的非线性变换，得到变换后的新的点集矩阵 :
步骤四：加权计算近似均值与近似协方差

当参数学习卡尔曼滤波（三）——无迹卡尔曼滤波时, 权重 , 加权算得的近似协方差可能存在非半正定的情况。为应对该问题, Julier 等人后来提出无迹变换的改进形式一一比例无迹变换，并由 Merwe 等人对其进行了简化。

比例无迹变换与一般形式的无迹变换的主要区别体现在参数选取与 sigma 点权重计算上，其主要操作流程如下所述：