最近看论文，看到了Wilcoxon signed-rank test（符号秩检验），咱也不知道是个啥，就学习了一下，这里做一下笔记，方便以后查阅。

非参数检验

概念

数据描述的三个角度：集中趋势，离散程度和分布形态。

常用统计推断检验方法分为两大类：参数检验和非参数检验。

参数检验通常是假设总体服从正态分布，样本统计量服从T分布的基础之上，对总体分布中一些未知的参数，例如总体均值、总体方差和总体标准差等进行统计推断。

如果总体的分布情况未知，同时样本容量又小，无法运用中心极限定理实施参数检验，推断总体的集中趋势和离散程度的参数情况。这时，可以用非参数检验，非参数检验对总体分布不做假设，直接从样本的分析入手推断总体的分布。

非参数检验和参数检验的对比

① 适用范围：

非参数检验用作参数检验的替代方法，当数据不满足正态性时，将使用非参数检验。因此，关键是要弄清楚是否具有正态分布。如果数据大致呈现"钟型"分布，则可以使用参数检验。

② 检验效能：

如果数据满足参数分布，应该优先选择参数检验方法。愿因在于参数检验的检验效能要高于非参数检验。尤其是在样本数较大的情况下，参数检验结果较为稳健，所以即使不服从正态分布，也会选择参数检验。

③ 对比指标：

参数检验一般用平均值反映数据的集中趋势；但由于数据不满足正态分布，在非参数检验中如果再使用平均值描述显然不太准确（比如常被吐槽的人均收入），此时中位数是更好的选择。

1. 参数检验分析结果
   
   参数检验用平均值及标准差描述数据分布请况。

2. 非参数检验分析结果
   
   非参数检验结果中使用的是中位数描述差异。

④ 图形展示：

除了使用以上指标进行分析，还可以通过图形直观展示数据情况。参数检验常用图形有：折线图、条形图等，非参数检验可以使用箱线图查看。

参数检验与非参数检验的方法对比

凡是在分析过程中不涉及总体分布参数的检验方法，都可以称为“非参数检验”。因而，与参数检验一样，非参数检验包括许多方法。以下是最常见的非参数检验及其对应的参数检验对应方法：

非参数检验的方法

非参数检验的方法是五花八门，名字也是千奇百怪，但是，这些方法有它们的共性。

上面介绍了，因为对总体的分布形态不清楚或总体分布不是正态分布，所以无法用参数检验来推断总体的集中趋势和离散程度的参数。

统计学家想到用排秩（排序）的方法来规避不是正态分布的问题，用样本的排序情况来推断总体的分布情况。这就好比梁山一百单八将排好了座次，从中随机抽出几个，测试武力值，大概其能够了解梁山的实力如何。

下图是非参数检验常用的检验方法表:

Wilcoxon 检验

Frank Wilcoxon (1892—1965) 是美国的统计学家，发表了 70 篇左右论文，但其最大的贡献就是这 2 个以他名字命名的非参假设检验方法：秩和检验 和 符号秩检验。他在 1945 年发表的论文 1 中将二者分别称为 非成对检验 （unpaired experiment）和 成对检验（paired comparison）。 正是因为其巨大影响力使得这两个检验方法都以他的名字命名，并流传下来。

Wilcoxon rank-sum test（秩和检验）

基本概念

在统计学中，Wilcoxon rank-sum test（威尔科克森秩和检验） 也叫 Mann-Whitney U test（曼-惠特尼 U 检验），或者 Wilcoxon-Mann-Whitney test。秩和检验是一个非参的假设检验方法，一般用来检测 2 个数据集是否来自于相同分布的总体。

这里的 “秩” 其实就是 “排名” 的意思，“秩和” 当然就是指 “将排名进行求和” 的操作。在秩和检验中，我们不要求被检验的 2 组数据包含相同个数的元素，换句话说，秩和检验更适用于非成对数据之间的差异性检测。

应用实例

假设我们有 2 组数据和，如下表所示，中有 7 个元素（列 中），中有 8 个元素（列中），现在使用秩和检验判断这 2 组数据是否存在显著性差异。

步骤 2：令和分别表示 2 组数据的个数，即, 。再令 T TT 表示小样本的排名和，即 。根据计算公式可得和的值如下：

最终结论是：和存在统计意义上的显著性差异，它们可能来自分布不同的总体。

编程实现

在 python 中我们调用 scipy 包来里的 stats.mannwhitneyu() 函数来实现秩和检验，如下代码：

from scipy import stats

x = [9,5,8,7,10,6,7]
y = [7,4,5,6,3,6,4,4]

def wilcoxon_rank_sum_test(x, y):
	res = stats.mannwhitneyu(x ,y)
	print(res)

wilcoxon_rank_sum_test(x, y)

wilcoxon_rank_sum_test(y, x)

Wilcoxon signed-rank test（符号秩检验）

基本概念

Wilcoxon signed-rank test（威尔科克森符号秩检验）也是一种非参的假设检验方法，它成对的检查 2 个数据集中的数据（即 paired difference test）来判断 2 个数据集是否来自相同分布的总体。

应用实例

假设我们有 2 组数据和，如下表所示。我们按照如下 3 步来计算 wilcoxon signed-rank test 的结果。

步骤 2： 首先对和两两成对求差得到绝对值列，然后根据列排序得到列。当某一对和的元素相等时，即时，我们不计算其值。例如，在的数据对中，和的值都是 140，因此这对数组没有排名值。

步骤 3： 有了这个和列的结果后，我们就可以来计算秩和了，其中大于 0 的秩和和 对于小于 0 的秩和，以及最终的符号秩和如下所示，

编程实现

在 python 中我们调用 scipy 包来里的 stats.wilcoxon() 函数来实现秩和检验，如下代码，

from scipy import stats

x = [125,115,130,140,140,115,140,125,140,135]
y = [110,122,125,120,140,124,123,137,135,145]

def wilcoxon_signed_rank_test(x, y):
	res = stats.wilcoxon(x ,y)
	print(res)

wilcoxon_signed_rank_test(x, y)

wilcoxon_signed_rank_test(y, x)

Wilcoxon 符号秩检验临界表

Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验

当我们提出一种算法，需要知道我们的算法和现在已有的算法相比，性能是否更优的时候，就需要用到模型性能评估的方法。

Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验方法的特点是：可以进行多个算法的比较。

计算序值

假定我们用和四个数据集对算法、、进行比较。

首先需要得到每个算法在每个数据集上的测试结果，可以是准确率，也可以是均方误差，然后在每个数据上根据测试性能的好坏进行排序，并赋予序值 1，2，…。

如果算法的测试性能相同，则评分排名。
比如，在和上， 最好、次之， 最差，而在 上 最好和性能相同，…，则可以列出如下表所示的序值表，对每一列的序值进行求平均，得到平均序值。

Friedman 检验

使用 Friedman 检验来判断这些算法是否性能相同。如果相同，则他们的平均序值应该相等。

假定我们在个数据集上比较个算法，令表示第个算法的平均序值。为简化讨论，暂时不考虑平分序值的情况，则服从正态分布，其均值和方差分别为和。变量

然后，上述的这样的 “原始 Friedman 检验” 过于保守，现在通常使用变量

Nemenyi 后续检验

这个时候就需要使用 “后续检验”（post-hoc test）来进一步区分算法。常用的算法是 Nemenyi 后续检验。

Nemenyi 检验计算出平均序值差别的临界值域

若两个算法的平均序值之差超出了临界值域#CD# ，则以相应的置信度拒绝 “两个算法性能相同” 这一假设。

Python实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
 
def Friedman(n, k, data_matrix):
    '''
    Friedman 检验
    :param n:数据集个数
    :param k: 算法种数
    :param data_matrix:排序矩阵
    :return:T1
    '''
 
    # 计算每个算法的平均序值
    row, col = data_matrix.shape  # 获取矩阵的行和列
    xuzhi_mean = list()
    for i in range(col):  # 计算平均序值
        xuzhi_mean.append(data_matrix[:, i].mean())  # xuzhi_mean = [1.0, 2.125, 2.875] list列表形式
    sum_mean = np.array(xuzhi_mean)  # 转成 numpy.ndarray 格式方便运算
 
    sum_ri2_mean = (sum_mean ** 2).sum()  # 整个矩阵内的元素逐个平方后，得到的值相加起来
    result_Tx2 = (12 * n) * (sum_ri2_mean - ((k * ((k + 1) ** 2)) / 4)) / (k * (k + 1))  # P42页的公式
    result_Tf = (n - 1) * result_Tx2 / (n * (k - 1) - result_Tx2)  # P42页的公式
    return result_Tf
 
 
def nemenyi(n, k, q):
    '''
    Nemenyi 后续检验
    :param n:数据集个数
    :param k:算法种数
    :param q:直接查书上2.7的表
    :return:
    '''
    cd = q * (np.sqrt((k * (k + 1) / (6 * n))))
    return cd
 
 
data = np.array([[1, 2, 3], [1, 2.5, 2.5], [1, 2, 3], [1, 2, 3]])
 
T1 = Friedman(4, 3, data)
cd = nemenyi(4, 3, 2.344)
print('tf={}'.format(T1))
print('cd={}'.format(cd))
 
# 画出CD图
row, col = data.shape  # 获取矩阵的行和列
xuzhi_mean = list()
for i in range(col):  # 计算平均序值
    xuzhi_mean.append(data[:, i].mean())  # xuzhi_mean = [1.0, 2.125, 2.875] list列表形式
sum_mean = np.array(xuzhi_mean)
# 这一句可以表示上面sum_mean： rank_x = list(map(lambda x: np.mean(x), data.T))  # 均值 [1.0, 2.125, 2.875]
name_y = ["A1", "A2", "A3"]
# 散点左右的位置
min_ = sum_mean - cd / 2
max_ = sum_mean + cd / 2
# 因为想要从高出开始画，所以数组反转一下
name_y.reverse()
sum_mean = list(sum_mean)
sum_mean.reverse()
max_ = list(max_)
max_.reverse()
min_ = list(min_)
min_.reverse()
# 开始画图
plt.title("Friedman")
plt.scatter(sum_mean, name_y)  # 绘制散点图
plt.hlines(name_y, max_, min_)
plt.show()

参考资料

如何理解非参数检验？

非参数检验思路总结，清晰理解就靠它了！

Wilcoxon 检验之 rank-sum 与 signed-rank

威尔科克森(Wilcoxon)符号秩检验：定义，运行方式

Wilcoxon Signed Rank Test: Definition, How to Run, SPSS

模型性能评估之 Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验

【西瓜书 第二章】2.4.4 Friedman 检验 和 Nemenyi 检验