路径规划 | 图解A*、Dijkstra、GBFS算法的异同(附C++/Python/Matlab仿真)

0 专栏介绍

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1 栅格地图与邻域

搜索(Search)是指从初始状态(节点)出发寻找一组能达到目标的行动序列(或称问题的解)的过程。

在图搜索中,往往将环境简化为栅格地图(Grid Map),易于刻画固定场景,同时也便于计算机控制系统进行信息处理。所谓栅格就是将连续地图用固定大小正方形方格进行离散化的单位。

在栅格地图中,常见的邻域(neighbor)模式如下所示,即

  • 8邻域
  • 24邻域
  • 48邻域

栅格的邻域表示了从当前位置出发下一次搜索的集合,例如八邻域法中,当前栅格只能和周围的八个栅格相连形成局部路径。

在这里插入图片描述

下面是一个图搜索问题的例子,可以直观理解什么是搜索问题。

例1:在如下的栅格地图中,设绿色栅格为起点,红色栅格为终点,灰色栅格为障碍,白色栅格为可行点,问如何设计一条由栅格组成的连接起点、终点的路径,并尽可能使路径最短?

接下来,围绕这个问题展开阐述。

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2 贪婪最佳优先搜索

一个朴素的想法是:每一次搜索时就找那些与终点最近的节点,这里衡量最近可以用多种度量方式——曼哈顿距离、欧式距离等。这种方法像一头狼贪婪地望着食物,迫切寻求最近的路径,因此称为贪婪最佳优先搜索(Greedy Best First Search, GBFS)

假设采用八邻域法,在GBFS思想指导下,在起点的八邻域中就会选择最右侧的节点,如下所示。

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循环地,直到如下所示的节点,因为邻域内有障碍,这些障碍节点不会被候选,所以此时离终点最近的就是下方的方格

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依次类推直至终点

3 Dijkstra算法

Dijkstra算法走向了另一个极端,它完全不考虑扩展节点与终点的关系,而是定义了一个路径耗散函数路径规划 | 图解A*、Dijkstra、GBFS算法的异同(附C++/Python/Matlab仿真),从起点开始,机器人每走一个栅格就会产生一定的代价或耗散,因为Dijkstra算法希望路径最短,所以每次首选那些使路径耗散最小的节点。

依照Dijkstra算法的观点,从起点开始,其八个邻域节点都会被依次探索,因为它们离起点最近,接着再探索这些节点的子节点。

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4 启发式A*搜索

A*算法是非常有效且常用的路径规划算法之一,其是结合Dijsktra算法与GBFS各自优势的启发式搜索算法,其搜索代价评估函数为

路径规划 | 图解A*、Dijkstra、GBFS算法的异同(附C++/Python/Matlab仿真)

其中路径规划 | 图解A*、Dijkstra、GBFS算法的异同(附C++/Python/Matlab仿真)代表路径耗散,是Dijsktra算法分量;路径规划 | 图解A*、Dijkstra、GBFS算法的异同(附C++/Python/Matlab仿真)代表下一个搜索节点与终点的距离,启发式地引导机器人朝着终点拓展,是GBFS算法分量。

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5 A*、Dijkstra、GBFS算法的异同

特别地

  • 路径规划 | 图解A*、Dijkstra、GBFS算法的异同(附C++/Python/Matlab仿真)时,启发函数影响占据主导,A*算法退化为GBFS算法——完全不考虑状态空间本身的固有属性,不择手段地追求对目标的趋近,此时算法搜索效率将得到提升,但最优性无法保证;
  • 路径规划 | 图解A*、Dijkstra、GBFS算法的异同(附C++/Python/Matlab仿真)时,路径耗散函数影响占据主导,A*算法退化为Dijsktra算法——无先验信息搜索,此时算法搜索效率下降,但最优性上升。

三个算法的直观比较如下所示

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6 算法仿真与实现

6.1 算法流程

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6.2 ROS C++实现

核心代码如下

std::tuple<bool, std::vector<Node>> AStar::plan(const unsigned char* costs, const Node& start,
                                                  const Node& goal, std::vector<Node> &expand) {
    // open list
    std::priority_queue<Node, std::vector<Node>, compare_cost> open_list;
    open_list.push(start);

    // closed list
    std::unordered_set<Node, NodeIdAsHash, compare_coordinates> closed_list;

    // expand list
    expand.clear();
    expand.push_back(start);

    // get all possible motions
    const std::vector<Node> motion = getMotion();

    // main loop
    while (!open_list.empty()) {
      // pop current node from open list
      Node current = open_list.top();
      open_list.pop();
      current.id = this->grid2Index(current.x, current.y);
      
      // current node do not exist in closed list
      if (closed_list.find(current) != closed_list.end())
        continue;

      // goal found
      if (current==goal) {
        closed_list.insert(current);
        return {true, this->_convertClosedListToPath(closed_list, start, goal)};
      }

      // explore neighbor of current node
      for (const auto& m : motion) {
        Node new_point = current + m;

        // current node do not exist in closed list
        if (closed_list.find(new_point) != closed_list.end())
          continue;

        // explore a new node
        new_point.id = this->grid2Index(new_point.x, new_point.y);
        new_point.pid = current.id;

        // if using dijkstra implementation, do not consider heuristics cost
        if(!this->is_dijkstra_)
          new_point.h_cost = std::sqrt(std::pow(new_point.x - goal.x, 2)
                              + std::pow(new_point.y - goal.y, 2));

        // if using GBFS implementation, only consider heuristics cost
        if(this->is_gbfs_)
          new_point.cost = 0;
        
        // goal found
        if (new_point==goal) {
          open_list.push(new_point);
          break;
        }

        // bext node hit the boundary or obstacle
        if (new_point.id < 0 || new_point.id >= this->ns_ || 
            costs[new_point.id] >= this->lethal_cost_ * this->factor_)
            continue;

        open_list.push(new_point);
        expand.push_back(new_point);
      }
      closed_list.insert(current);
    }
    return {false, {}};
  }
}

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6.3 Python实现

核心代码如下

def plan(self):
     # OPEN set with priority and CLOSED set
     OPEN = []
     heapq.heappush(OPEN, self.start)
     CLOSED = []

     while OPEN:
         node = heapq.heappop(OPEN)

         # exists in CLOSED set
         if node in CLOSED:
             continue

         # goal found
         if node == self.goal:
             CLOSED.append(node)
             return self.extractPath(CLOSED), CLOSED

         for node_n in self.getNeighbor(node):                
             # exists in CLOSED set
             if node_n in CLOSED:
                 continue
             
             node_n.parent = node.current
             node_n.h = self.h(node_n, self.goal)

             # goal found
             if node_n == self.goal:
                 heapq.heappush(OPEN, node_n)
                 break
             
             # update OPEN set
             heapq.heappush(OPEN, node_n)
         
         CLOSED.append(node)
     return [], []

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6.4 Matlab实现

核心代码如下

while ~isempty(OPEN(:, 1))
    % pop
    f = OPEN(:, 3) + OPEN(:, 4);
    [~, index] = min(f);
    cur_node = OPEN(index, :);
    OPEN(index, :) = []; 
    
    % exists in CLOSED set
    if loc_list(cur_node, CLOSED, [1, 2])
        continue
    end
    
    % goal found
    if cur_node(1) == goal(1) && cur_node(2) == goal(2)
        CLOSED = [cur_node; CLOSED];
        flag = true;
        cost = cur_node(3);
        break
    end
    
    % explore neighbors
    for i=1:neighbor_num        
        node_n = [cur_node(1) + neighbor(i, 1), ...
                          cur_node(2) + neighbor(i, 2), ...
                          cur_node(3) + neighbor(i, 3), ...
                          0, cur_node(1), cur_node(2)
                          ];
        node_n(4) = h(node_n(1:2), goal);
        
        % exists in CLOSED set
        if loc_list(cur_node, CLOSED, [1, 2])
            continue
        end
        
        % obstacle
        if map(node_n(1), node_n(2)) == 2
            continue;
        end
       
        % goal found
        if cur_node(1) == goal(1) && cur_node(2) == goal(2)
            CLOSED = [cur_node; CLOSED];
            flag = true;
            cost = cur_node(3);
            break
        end
        
        % update expand zone
        expand = [expand; node_n(1:2)];
        
        % update OPEN set
        OPEN = [OPEN; node_n];
    end
    CLOSED = [cur_node; CLOSED];
end

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