Numpy数值积分的实现

求和

在Numpy中可以非常方便地进行求和或者连乘操作，对于形如 x 0 , x 1 , ⋯   , x_n​的数组而言，其求和 ∑x_i或者连乘 ∏x_i分别通过sum和prod实现。

x = np.arange(10)
print(np.sum(x))    # 返回45
print(np.prod(x))   # 返回0

这两种方法均被内置到了数组方法中，

x += 1
x.sum()     # 返回55
x.prod()    # 返回3628800

有的时候数组中可能会出现坏数据，例如

x = np.arange(10)/np.arange(10)
print(x)
# [nan  1.  1.  1.  1.  1.  1.  1.  1.  1.]

其中x[0]由于是0/0，得到的结果是nan，这种情况下如果直接用sum或者prod就会像下面这样

>>> x.sum()
nan
>>> x.prod()
nan

为了避免这种尴尬的现象发生，numpy中提供了nansum和nanprod，可以将nan排除后再进行操作

>>> np.nansum(x)
9.0
>>> np.nanprod(x)
1.0

累加和累乘

和连加连乘相比，累加累乘的使用频次往往更高，尤其是累加，相当于离散情况下的积分，意义非常重大。

from matplotlib.pyplot as plt
xs = np.arange(100)/10
ys = np.sin(xs)
ys1 = np.cumsum(ys)/10
plt.plot(xs, ys)
plt.plot(xs, ys1)
plt.show()

效果如图所示

cumprood可以实现累乘操作，即

x = np.arange(1, 10)
print(np.cumprod(x))
# [     1      2      6     24    120    720   5040  40320 362880]

与sum, prod相似，cumprod和cumsum也提供了相应的nancumprod, nancumsum函数，用以处理存在nan的数组。

>>> x = np.arange(10)/np.arange(10)
<stdin>:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in true_divide
>>> np.cumsum(x)
array([nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan])
>>> np.nancumsum(x)
array([0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.])
>>> np.nancumprod(x)
array([1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.])

trapz

cumsum操作是比较容易理解的，可以理解为离散化的差分，比如

>>> x = np.arange(5)
>>> y = np.cumsum(x)
>>> print(x)
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> print(y)
array([ 0,  1,  3,  6, 10])

trap为梯形积分求解器，同样对于[0,1,2,3,4]这样的数组，那么稍微对高中知识有些印象，就应该知道[0,1]之间的积分是​，此即梯形积分

>>> np.trapz(x)
8.0

接下来对比一下trapz和cumsum作用在 sin ⁡ x sin x sinx上的效果

from matplotlib.pyplot as plt
xs = np.arange(100)/10
ys = np.sin(xs)
y1 = np.cumsum(ys)/10
y2 = [np.trapz(ys[:i+1], dx=0.1) for i in range(100)]
plt.plot(xs, y1)
plt.plot(xs, y2)
plt.show()

结果如图，可见二者差别极小。

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