文章目录
- 一、什么是筛法
- 二、欧拉筛法详解
- 三、欧拉筛法正确性的证明
- 四、欧拉筛法时间复杂度的证明
一、什么是筛法
筛法就是求出小于等于的所有素数的方法,在数论中发挥着很大的作用。
二、欧拉筛法详解
筛法进行复杂度优化,所采用的一个惯用思路是:找到一个素数后,就将它的倍数标记为合数,也就是把它的倍数“筛掉”;如果一个数没有被比它小的素数“筛掉”,那它就是素数。欧拉筛法的大致思路也是如此,就是其中有些细节有差异。欧拉筛法拥有线性的复杂度,而且编码较简单,应用十分广泛。
我们先给出代码:
bool isprime[MAXN]; // isprime[i]表示i是不是素数
int prime[MAXN]; // 现在已经筛出的素数列表
int n; // 上限,即筛出<=n的素数
int cnt; // 已经筛出的素数个数
void euler()
{
memset(isprime, true, sizeof(isprime)); // 先全部标记为素数
isprime[1] = false; // 1不是素数
for(int i = 2; i <= n; ++i) // i从2循环到n(外层循环)
{
if(isprime[i]) prime[++cnt] = i;
// 如果i没有被前面的数筛掉,则i是素数
for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; ++j)
// 筛掉i的素数倍,即i的prime[j]倍
// j循环枚举现在已经筛出的素数(内层循环)
{
isprime[i * prime[j]] = false;
// 倍数标记为合数,也就是i用prime[j]把i * prime[j]筛掉了
if(i % prime[j] == 0) break;
// 最神奇的一句话,如果i整除prime[j],退出循环
// 这样可以保证线性的时间复杂度
}
}
}
假设要筛出n
以内的素数。我们先把所有数标记为素数。枚举i
从2
到n
,所以因为i
是从小到大的,如果i
没有被前面的数(比它小的数)标记为合数,那i
就是素数,加入素数列表。现在用i
来筛后面的数,枚举已经筛出来的素数prime[j]
(j=1~cnt
),标记i * prime[j]
为合数,当i
是prime[j]
的倍数时退出循环,i++
。
思路很简单,也很莫名其妙。首先我们看似无法保证每个合数都被筛掉,也无法保证复杂度为线性(因为有两层循环)。要解决这些问题,必须经过深入的思考。
三、欧拉筛法正确性的证明
假设我们要筛掉合数,且的最小质因数为,令。那么显然,先被外层循环碰到。现在要筛掉它的倍数。因为是的最小质因数,所以的最小质因数必不小于,这样就保证筛掉前不会在if(i % prime[j] == 0) break;
处跳出循环。即使的最小质因数等于,也会先筛掉后再退出循环。这样就保证了每个合数都会被筛掉。
四、欧拉筛法时间复杂度的证明
欧拉筛法的时间、空间复杂度为。空间复杂度是显然的。下面证明时间复杂度为线性。
我们的核心就是要证明一个合数只会被筛掉一次,即标记isprime[它]=1
一次。首先,对于,当然只会筛掉一次,因为我们从小到大枚举prime[j]
,也就是说b * prime[j]
递增,因此不可能遇到两次。会不会有其他的数筛掉呢?假设又被筛掉了,其中,就是用来筛掉的prime[j]
。
①若,则,与是最小的质因数矛盾,假设不成立;
②若,则,这意味着是的质因数。那么从小到大筛掉它的素数倍,在筛到时就break
了,所以根本轮不到。
综上所述,每个数都只会被筛掉一次,再加上外层的i
的循环是线性复杂度,总的时间复杂度是线性的。
感性地理解:一开始i
很小的时候一次能筛掉很多素数,后面超过之后就几乎不用做什么事情了。所以虽然有两层循环,把每次循环加起来还是线性的复杂度。
这个算法远远没有埃拉托斯特尼筛法直观,需要细细品味。不过背过板子就好啦。
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