微分方程+传染病模型（指数传播、SI、SIS、SIR模型）+MATLAB求解

本文为北海的数模课程学习笔记，课程出自微信公众号：数学建模BOOM。

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微分方程结合传染病模型（如指数传播、SI、SIS、SIR模型）提供了一种用数学公式描述疾病传播动态的方法，有助于理解和预测疾病在人群中的传播路径和速度。

目录

指数传播模型

SI模型

SIS模型

SIR模型

代码求解微分方程数值解

指数传播模型

最简单

假设：每个病人，单位时间内会传染到的人数为大于0的常数，有

 该模型适用于传染病爆发初期。考虑到在封闭区域内，患病人数+健康人数=总人数，总人数是相对固定的，所以不能一直指数增长下去。由此升级为SI模型。

SI模型

设人口总数为常数N。人群分为易感染者（Susceptible）和易感染者（Infective），所占比例在t时刻为s(t)和i(t),s(t)+i(t)=1。 

 但是本模型假设了只有健康者可以变为病人，但病人不会变为健康者。升级后为SIS模型。

SIS模型

MATLAB的dsolve函数可以求解析解 

把换掉 

SIR模型

考虑免疫性，改进为SIR模型。

 模型分析 • SIR模型形式是多个相互关联的系统变量之间的常微分方程组，属于典型的系统动力学模型

• 该类问题往往难以求得精确的解析解，可以使用MATLAB求数值解

代码求解微分方程数值解

通用的求常微分方程数值解的函数ode45。

• 基本语法： • https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/ode45.html?s_tid=srchtitle_ode45_1#d123e934673

clc,clear
% 参数初始化
lam = 0.4;      % 日接触率
mu = 0.1;     % 日治愈率
I = 0.4;
S = 0.5; %因为S+I+R=1，所以求出I和S就够了

% ode45是一个通用型ODE求解器
tspan = [0:1:50];     % 变量t范围0到50，每隔1取一个
y0 = [I S];     % 传递模型参数

[t,y] = ode45(@(t,y)SIRfunc(t,y,lam,mu), tspan, y0);
%后面的tspan，y0传给@中的(t,y),再传递给SIRfunc中的(t,y,~,~)
% 求解返回的y中，第一列y1是第一个方程组的解，第二列y2是第二个微分方程的解
r = 1-y(:,1)-y(:,2);   % 移出者的比例 

%画图
plot(t,y(:,1),t,y(:,2),t,r,'k','LineWidth',2);
legend('患病:i(t)','易感染者:s(t)','移除者:r(t)','Location','Best'); 
ylabel('占人口比例%');
xlabel('时间t');
title('SIR模型(ode)');
%下面有一个分节符，因为要在同一个文件中再写一个函数

function dydt = SIRfunc(t,y,lam,mu)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = lam*y(1)*y(2) - mu*y(1);
dydt(2) = -lam*y(1)*y(2);
end 

结果