博弈论-策略式博弈矩阵、扩展式博弈树 习题 [HBU]

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前言:

题目与求解

11.请将“田忌赛马”的博弈过程用策略式(博弈矩阵)和扩展式(博弈树)分别进行表示,并用文字分别详细表述。

34.两个朋友在一起划拳喝酒,每个人有4个纯策略:杠子、老虎、鸡和虫子。 输赢规则是:杠子降老虎,老虎降鸡,鸡降虫子,虫子降杠子。两个人同时出令,如果一方打败另一方,赢者的得益为1,输者的得益为-1,否则得益为0. 请给出以上博弈的策略式描述并求出所有的纳什均衡。

42.乙向甲索要1000元,并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然,甲不一定会相信乙的威胁。 请用扩展式表示该博弈,并找出其子博弈完美纳什均衡。

前言:

本篇博客解决一些博弈论题目,题号已标清。

题目来自河北大学王亮老师的网址:Software Security Lab, Hebei University (hbusoftsec.org.cn)

题目与求解

题号:11  分值:20分

11.请将“田忌赛马”的博弈过程用策略式(博弈矩阵)扩展式(博弈树)分别进行表示,并用文字分别详细表述。

假设田忌和齐王赛马,每人有上、中、下三个等级的马各一匹,上等马优于中等马,中等马优于下等马,同一等级的马中齐王的马优于田忌的马。比赛共进行三局,每匹马只能参加一局比赛,每局的胜者得1分,负者得-1分,比赛结果为三局得分之和。

玩家N=2: 田忌  齐王

策略集: {上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上}

(1)策略式博弈矩阵为:

博弈矩阵中的每组数表示:左边的是田忌的得益,右边的是齐王的得益。

(2)扩展式(博弈树)为:

动态博弈的结果包括双方采用的策略组合实现的博弈路径各博弈方的得益

这是一棵很大的树,为了可以看清楚每个分支,我拆分为三个部分展示:齐王先手-上,齐王先手-中,齐王先手-下。

最后合并为一整棵树:

题号:34   分值:15分

34.两个朋友在一起划拳喝酒,每个人有4个纯策略:杠子、老虎、鸡和虫子。 输赢规则是:杠子降老虎,老虎降鸡,鸡降虫子,虫子降杠子。两个人同时出令,如果一方打败另一方,赢者的得益为1,输者的得益为-1,否则得益为0. 请给出以上博弈的策略式描述并求出所有的纳什均衡。

如同石头剪刀布博弈一样,此博弈不存在纯策略纳什均衡,因为这4个纯策略都互相克制。存在混合策略纳什均衡

设A=杠子,B=老虎 C=鸡 D=虫子

运用“让对手猜不透原则”

设玩家1选择出A,B,C,D的概率分别为q1,q2,q3,1-q1-q2-q3  

设玩家2选择出A,B,C,D的概率分别为p1,p2,p3,1-p1-p2-p3   

对于玩家1:

U_{1}(A)=p_{1}*0+p_{2}*1+p_{3}*0+(1-p_{1}-p_{2}-p_{3})*(-1)

U_{1}(B)=p_{1}*(-1)+p_{2}*0+p_{3}*1+(1-p_{1}-p_{2}-p_{3})*0

U_{1}(C)=p_{1}*0+p_{2}*(-1)+p_{3}*0+(1-p_{1}-p_{2}-p_{3})*1

U_{1}(D)=p_{1}*1+p_{2}*0+p_{3}*(-1)+(1-p_{1}-p_{2}-p_{3})*0

对于玩家2:

U_{2}(A)=q_{1}*0+q_{2}*1+q_{3}*0+(1-q_{1}-q_{2}-q_{3})*(-1)

U_{2}(B)=q_{1}*(-1)+q_{2}*0+q_{3}*1+(1-q_{1}-q_{2}-q_{3})*0

U_{2}(C)=q_{1}*0+q_{2}*(-1)+q_{3}*0+(1-q_{1}-q_{2}-q_{3})*1

U_{2}(D)=q_{1}*1+q_{2}*0+q_{3}*(-1)+(1-q_{1}-q_{2}-q_{3})*0

得到:

        p2-p4=p3-p1=p4-p2=p1-p3

  即: p1=p3,p2=p4

p=p1,又因p1+p2+p3+p4=1,可得混合策略:

[(p,\frac{1}{2}-p,p,\frac{1}{2}-p),(p,\frac{1}{2}-p,p,\frac{1}{2}-p)]

所以,只要p\subseteq [0,0.05],就都是符合要求的纳什均衡。

如,当p=\frac{1}{4}时,混合策略纳什均衡为[(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}),(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})]

题号:42  分值:15分

42.乙向甲索要1000元,并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然,甲不一定会相信乙的威胁。 请用扩展式表示该博弈,并找出其子博弈完美纳什均衡。

这是一个完全但不完美博弈,甲并不清楚乙会不会选择威胁,故需要引入“自然”,使得乙威胁或不威胁的概率分别为50%.

甲原本的得益为1000乙原本的得益为0。前件为乙的得益,后件为甲的得益。

必要信息描述:

若甲不给乙,且乙的威胁是真的,甲、乙都将损失1000(因为乙不但没有得到钱,还使用了威胁的手段,损害了甲)。此时双方得益为(-1000,-1000)

若甲给乙,乙的威胁是真的。乙提前做好了威胁甲的准备,付出了用于威胁甲的成本,成本为-200元。此时双方得益为(800,0)。

扩展式博弈(博弈树)如下:

逆向归纳法可以得到子博弈完美纳什均衡解:乙在威胁的情况下,甲选择给钱,此时双方的得益为(800,0);乙在不威胁的情况下,甲不给钱,此时双方得益为(0,1000)。

最终图解:

本博客所借鉴的优秀内容链接如下,在此鸣谢:

博弈论笔记(一):策略式博弈及其纳什均衡 – 知乎 (zhihu.com)

博弈 习题-田忌赛马问题_田忌赛马博弈矩阵-CSDN博客

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原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_63010525/article/details/134671234

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