【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

本文采用Python及PyTorch版本如下:

  • Python:3.9.0

  • PyTorch:2.0.1+cpu

本文为博主自用知识点提纲,无过于具体介绍,详细内容请参考其他文章。

线性代数 & 微积分

  • 1. 线性代数
    • 1.1 基础
      • 1.1.1 标量
      • 1.1.2 向量
        • 长度(维度)、形状
      • 1.1.3 矩阵
      • 1.1.3.1 迹
        • 1.1.3.2 转置矩阵
        • 1.1.3.3 特征值
        • 1.1.3.4 奇异值
        • 1.1.3.5 逆矩阵
        • 1.1.3.6 Moore-Penrose伪逆
      • 1.1.4 张量
    • 1.2 向量空间
    • 1.3 运算
      • 1.3.1 加 & 减
      • 1.3.2 内积 & 点积
        • 1.3.2.1 内积
        • 1.3.2.1 点积
      • 1.3.3 外积 & 克罗内克积
      • 1.3.4 哈达玛积
      • 1.3.5 矩阵乘积
      • 1.3.6 向量-向量叉积
    • 1.4 范数
      • 1.4.1 向量范数(p范数)
        • 1.4.1.1 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分范数
        • 1.4.1.2 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分范数
        • 1.4.1.3 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分范数
      • 1.4.2 矩阵范数
        • 1.4.2.1 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分范数
        • 1.4.2.2 核范数
    • 1.5 距离(向量距离)
      • 1.5.1 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分距离
      • 1.5.2 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分距离
      • 1.5.3 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分距离
    • 1.6 余弦相似度
    • 1.7 矩阵分解
      • 1.7.1 矩阵三角分解(LR / LU分解)
      • 1.7.2 矩阵正交三角分解(QR分解)
      • 1.7.3 矩阵特征值分解(EVD分解)
      • 1.7.4 矩阵奇异值分解(SVD分解)
    • 1.8 降维
      • 1.8.1 基础操作
        • 1.8.1.1 求和
        • 1.8.1.2 平均值
      • 1.8.2 PCA主成分分析
      • 1.8.3 稀疏矩阵压缩
  • 2. 微积分
    • 2.1 导数 & 微分
    • 2.2 偏导数
    • 2.3 梯度
    • 2.4 Hessian矩阵
    • 2.5 Jacobian矩阵

1. 线性代数

线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量、向量空间(线性空间)、线性变换及有限维的线性方程组。线性代数已被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

  • 线性(Linear)指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。
  • 非线性(Non-Linear)则相反,即量与量之间不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数的函数。

1.1 基础

1.1.1 标量

在数学中,标量(Scalar):亦称作“无向量”,只具有数值大小,没有方向,但有正负之分。

在Python中,标量即为普通的数字类型,包括int(整型)、float(浮点型)、bool(布尔型)和complex(复数)。

在数学定义中,标量等价于零阶张量;在PyTorch中也是如此,但零阶张量被表示为为仅包含一个数字的torch.Tensor类型(等价于仅包含一个元素的列表),并不完全等价于数学上的普通标量(单个数字)。

import torch

x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)

x + y, x * y, x / y, x ** y

基本运算

1.1.2 向量

在数学中,向量(Vector,亦称欧几里得向量、几何向量),指具有大小(magnitude)和方向的量,形式上表现为以原点为始点箭头指向终点的坐标。向量一般表示为带箭头的线段,表示其方向;印刷体一般为加粗体字母。

数学表示法用x∈ℝn表示向量。

印刷体:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

手写体:
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在Python中,向量可以视作由标量值组成的列表,其中的标量值被称作向量的元素(element)分量(component)。一般可用向量表示数据集中的样本。

在数学定义中,向量等价于一阶张量,在PyTorch中也是如此。

x = torch.arange(4)
x

向量

我们可以通过索引访问元素,获得的元素仍为PyTorch标量(即<class 'torch.Tensor'>类型)。

x[3]

元素访问

长度(维度)、形状

向量的长度与维度等价,我们可以通过Python的内置函数len来访问其长度。

len(x)

长度

当张量为一阶张量(向量)时,我们可以通过shape属性访问其长度。

x.shape

形状

维度之分:

  • 张量:张量维度指张量的轴数(阶数)
  • 向量:向量维度指元素的数量(长度)

1.1.3 矩阵

在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

在Python与数学中,矩阵同样代表二阶张量,以及向量的向量。

数学表示法用A∈ℝm×n来表示矩阵A,即用大写字母来表示矩阵,其中每个元素aij属于第i行第j列。

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A的形状为(m,n)或m×n,当m=n时,其被称作方阵(Square Matrix)

我们可以通过调用函数创建一个5×4的矩阵。

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A

矩阵

与向量相同,我们可以通过索引访问元素,获得的元素仍为PyTorch标量(即<class 'torch.Tensor'>类型)。

A[3, 3]

索引访问元素

1.1.3.1 迹

迹(trace)运算是方阵对角元素的和:
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代码如下:

D = torch.arange(16).reshape(4,4)
D.trace()

方阵迹运算

在PyTorch中,非方阵迹计算规则如下:非方阵迹计算规则

代码如下:

B = torch.arange(20).reshape(4,5)
C = torch.arange(20).reshape(5,4)
B, B.trace(), C, C.trace()

非方阵迹运算

1.1.3.2 转置矩阵

当交换矩阵的行、列时,结果称为矩阵的转置(transpose),一般使用【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分表示矩阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的转置。

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可以通过如下代码访问其转置。

A.T

转置

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分时,将【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分矩阵称为对称矩阵(Systematic Matrix)。

1.1.3.3 特征值

特征值:指设【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量x,使得【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分成立,则称λ是【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。特征值分解可对满秩方阵进行分解。

具体内容见:特征值分解

1.1.3.4 奇异值

奇异值是矩阵里的概念,一般通过奇异值分解定理求得。设【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分为m*n阶矩阵,q=min(m,n),【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法,适用于信号处理和统计学等领域。

具体内容见:奇异值分解

1.1.3.5 逆矩阵

设A是一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I ,则称方阵A可逆,并称方阵B是A的逆矩阵。
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求逆矩阵代码如下:

# 矩阵求逆一般建议使用double或float浮点型,否则无法表示元素为小数的逆矩阵
F = torch.tensor([[1., 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])
F.inverse()

逆矩阵

1.1.3.6 Moore-Penrose伪逆

对于非方阵,其逆矩阵没有定义,但我们希望通过【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的左逆【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分求解线性方程:
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即:
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Moore-Penrose伪逆(Moore-Penrose广义逆)定义如下:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

其中,矩阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是矩阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的奇异值分解后得到的矩阵。对角矩阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的伪逆【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是其非零元素取倒数再转置得到的。

对于矩阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

  • 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分时(行数<列数),方程可能有多个解,【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是所有可行解中L2范数【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分最小的解。
  • 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分时(列数<行数),方程可能没有解,【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分可使得【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的L2距离【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分最小。

1.1.4 张量

张量是一个更为一般的定义,其用特殊字体的大写字母表示(【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分),低阶张量与上述三种量的等价关系如下:

  • 零阶张量:标量(Scalar)

  • 一阶张量:向量(Vector)

  • 二阶张量:矩阵(Matrix)

我们同样可以使用类似的方式创建高阶张量,并通过索引访问其中的元素,获得的元素仍为PyTorch标量(即<class 'torch.Tensor'>类型)。

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
print(X)
print(X[0, 1, 2])

高阶张量

1.2 向量空间

向量空间亦称线性空间,它是线性代数的中心内容和基本概念之一。

设V是一个非空集合,P是一个域。若:

1.在V中定义了一种运算,称为加法,即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β,称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算,称为数乘(亦称数量乘法),即对V中任意元素α和P中任意元素k,都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα,称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件:

(1)α+β=β+α,对任意α,β∈V.

(2)α+(β+γ)=(α+β)+γ,对任意α,β,γ∈V.

(3)存在一个元素0∈V,对一切α∈V有α+0=α,元素0称为V的零元.

(4)对任一α∈V,都存在β∈V使α+β=0,β称为α的负元素,记为-α.

(5)对P中单位元1,有1α=α(α∈V).

(6)对任意k,l∈P,α∈V有(kl)α=k(lα).

(7)对任意k,l∈P,α∈V有(k+l)α=kα+lα.

(8)对任意k∈P,α,β∈V有k(α+β)=kα+kβ.

则称V为域P上的一个线性空间,或向量空间。

其中,V中元素称为向量,V的零元称为零向量,P称为线性空间的基域。
当P是实数域时,V称为实线性空间;当P是复数域时,V称为复线性空间。

1.3 运算

1.3.1 加 & 减

任意阶张量均可与自身形状相同的张量相加减。若与单一数字相加减,将为张量内所有元素加减对应数字(等同于张量与由对应数字组成、与其形状、大小相同的张量相加减)

标量:

# 标量
a = torch.tensor(1)
b = torch.tensor(2)
a + b, a + 1

标量

向量:

# 向量
e = torch.tensor([1, 2, 3])
f = torch.tensor([2, 3, 4])
e + f, e + 1 

向量

矩阵:

# 矩阵
A = torch.arange(20).reshape(4, 5)
B = torch.arange(12, 20 + 12).reshape(4, 5)
A + B, A + 1

矩阵

高阶张量:

# 高阶张量
X = torch.arange(24).reshape(2 ,3, 4)
Y = torch.arange(12 , 24 + 12).reshape(2 ,3, 4)
X + Y, X + Y

高阶张量

1.3.2 内积 & 点积

1.3.2.1 内积

内积(Inner Product): 亦称数量积(dot product; scalar product),是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。

假设有两向量【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分, 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,则其内积表示如下:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

除此之外,还有 内积空间 的定义,有兴趣的读者可以自行查阅资料了解,这里不过多叙述。

计算向量内积的代码如下:

a = torch.tensor([1., 2., 3.])
b = torch.tensor([4., 5., 6.])
a.inner(b)

内积

1.3.2.1 点积

点积(Dot Product):内积的一种特殊形式,即欧几里得空间内积的定义。

假设有两向量【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分, 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,则其点积表示如下:
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计算向量点积的代码如下:

a = torch.tensor([1., 2., 3.])
b = torch.tensor([4., 5., 6.])
a.dot(b)

点积

1.3.3 外积 & 克罗内克积

克罗内克积(Kronecker product):张量积的特殊形式

  • 克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算,结果仍为一个矩阵(数学符号【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,精确表达【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

我们以矩阵为例,用数学符号表示其计算过程:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

下面我们分别展示求标量、向量、矩阵、高阶张量的克罗内克积。

标量-克罗内克积:

a = torch.tensor([2])
b = torch.tensor([3])
a.kron(b)

标量

向量-克罗内克积:

x = torch.arange(3)
y = torch.arange(2, 2 + 3)
x.kron(y)

向量

矩阵-克罗内克积:

X = torch.arange(20).reshape(4 ,5)
Y = torch.arange(12, 12 + 20).reshape(4 ,5)
X.kron(Y)

矩阵

高阶张量-克罗内克积:

U = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
V = torch.arange(15, 15 + 24).reshape(2, 3, 4)
U.kron(V)

高阶张量

1.3.4 哈达玛积

两个张量(标量、向量、矩阵、高阶张量)的按元素乘法称为哈达玛积(Hadamard Product)(数学符号【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分),在代码中用*表示求哈达玛积。

我们以矩阵为例,用数学符号表示其计算过程:

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下面我们分别展示求标量、向量、矩阵、高阶张量的哈达玛积。

标量-哈达玛积:

a = torch.tensor([2])
b = torch.tensor([3])
a * b

标量

向量-哈达玛积:

x = torch.arange(3)
y = torch.arange(2, 2 + 3)
x * y

向量

矩阵-哈达玛积:

X = torch.arange(20).reshape(4 ,5)
Y = torch.arange(12, 12 + 20).reshape(4 ,5)
X * Y

矩阵

高阶张量-哈达玛积:

U = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
V = torch.arange(15, 15 + 24).reshape(2, 3, 4)
U * V

高阶张量

1.3.5 矩阵乘积

矩阵乘积(Matrix Product):【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,即A的列数须与B的行数相等,【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,在代码中用符号@表示。

标量-标量 矩阵乘积 :标量与标量乘积可用符号@表示,也可用torch.matmul()运算。

c = torch.tensor([2])
d = torch.tensor([3])
c @ d

标量-标量

向量-矩阵 矩阵乘积
向量与矩阵乘积可用符号@表示,也可用torch.mv()torch.matmul()运算。

区别:

  • torch.mv()须确保矩阵为第一个参数,向量为第二个参数,且形状符合运算规则。
  • @torch.matmul()则无上述限制,可将两者视为普通矩阵进行运算。
e = torch.arange(4.)  # 等效于 torch.arange(4.0)
f = torch.arange(5.)
B = torch.arange(12.,20+12).reshape(4,5)
e @ B, e.matmul(B), B.mv(f)

向量-矩阵

矩阵-矩阵 矩阵乘积
向量与矩阵乘积可用符号@表示,也可用torch.mm()torch.matmul()运算。

A = torch.arange(20.).reshape(5,4)
B = torch.arange(12.,20+12).reshape(4,5)
A @ B, A.mm(B), A.matmul(B) 

矩阵-矩阵

1.3.6 向量-向量叉积

向量积(Cross Product),又称叉积,是一种在向量空间中向量的二元运算,其可以新产生一个与原两向量都垂直的向量。

可以用数学符号【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分表示叉积,有时也用^表示叉积避免与字母【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分混淆。

向量积:|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>
即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

叉积

在PyTorch中求两向量叉积的方式如下。

x = torch.tensor([1, 2, 3])
y = torch.tensor([4, 5, 6])
x.cross(y)

叉积

1.4 范数

PyTorch范数API

torch.norm(input, p='fro', dim=None, keepdim=False, out=None, dtype=None)

其中,参数释义如下:

  • input:输入tensor类型的数据(张量内元素须为浮点型/复数)
  • p指定的范数
    • ‘fro’:Frobenius范数,即矩阵各项元素的绝对值平方总和。
    • ‘nuc’:核范数,即矩阵奇异值之和。
    • int型:p范数。
  • dim:指定计算维度,默认所有维度计算。
  • keepdim:布尔型,决定是否保留dim指定维度。
  • out:输出的tensor。
  • dtype:指定输出的tensor的数据类型。

首先我们定义所需的向量、矩阵。

x = torch.tensor([1., 2., 3.])      # 数字加小数点创建,默认为double型
y = torch.tensor([4., 5., 6.])

"""另外两种创建方式及不同浮点类型"""
# x = torch.tensor([1, 2, 3], dtype = torch.float64)    # 指定float64
# y = torch.tensor([4, 5, 6], dtype = torch.float64)

# x = torch.FloatTensor([1, 2, 3])          # 此方式默认float32
# y = torch.FloatTensor([4, 5, 6])


A = torch.arange(12, dtype = torch.double).reshape(3, 4)
B = torch.arange(20, dtype = torch.double).reshape(4, 5)

1.4.1 向量范数(p范数)

1.4.1.1 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分范数

曼哈顿范数(L1范数):向量所有分量绝对值之和,它受异常值影响较小。
L1范数

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
代码如下:

x.norm(p=1)

L1范数

1.4.1.2 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分范数

欧几里得范数(L2范数):向量所有分量绝对值平方和的平方根。

L2范数

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

代码如下:

x.norm(p=2)

L2范数

1.4.1.3 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分范数

切比雪夫范数(L∞范数):向量所有分量绝对值最大值。

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

我们已经发现了距离间的规律,这些范数被统称为p范数,可用如下公式表示所有向量p范数:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

  • 当 p = 1 时,上式表示 曼哈顿范数
  • 当 p = 2 时,上式表示 欧几里得范数
  • 当 p → ∞ 时,上式表示 切比雪夫范数

1.4.2 矩阵范数

1.4.2.1 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分范数

弗罗贝尼乌斯范数:类似于向量的L2范数,矩阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的弗罗贝尼乌斯范数是矩阵元素平方和的平方根。

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
它具有向量范数的所有性质,代码如下:

# torch默认计算Frobenius范数
A.norm()

Frobenius范数

1.4.2.2 核范数

核范数:矩阵奇异值的和,可以用来衡量矩阵的稀疏性。我们可用核范数来约束模型的复杂度,防止过拟合。

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

其中,U是A的奇异值分解(SVD)的左奇异矩阵,【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分表示其L1范数,核范数非负。

该范数常被用于约束矩阵的低秩,对于稀疏性质的数据而言,其矩阵是低秩且会包含大量冗余信息,这些信息可被用于恢复数据和提取特征。

A.norm(p='nuc')

核范数

1.5 距离(向量距离)

PyTorch距离API

torch.pairwise_distance(x1, x2, p=2.0, eps=1e-6, keepdim=False)

其中,input表示输入,p表示距离类型(默认为l2距离)

向量距离

1.5.1 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分距离

曼哈顿距离(L1距离):在n维空间中,两点各坐标数值差绝对值之和。
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

torch.pairwise_distance(x, y, p=1)

L1距离

1.5.2 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分距离

欧几里得距离(L2距离):在n维空间中,两点各坐标数值差绝对值平方和的平方根。
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

torch.pairwise_distance(x, y, p=2)

L2距离

1.5.3 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分距离

切比雪夫距离(L∞距离):在n维空间中,两点各坐标数值差绝对值的最大值。
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

我们已经发现了距离间的规律,可用如下公式表示所有向量距离:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

  • 当 p = 1 时,上式表示 曼哈顿距离
  • 当 p = 2 时,上式表示 欧几里得距离
  • 当 p → ∞ 时,上式表示 切比雪夫距离

1.6 余弦相似度

余弦相似度:又称为余弦相似性,是通过计算两个向量的夹角余弦值来评估他们的相似度。

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

PyTorch余弦相似度API

torch.cosine_similarity(x1, x2, dim=1, eps=1e-8)

代码示例如下:

a = torch.tensor([1., 2, 3])
b = torch.tensor([2., 3, 4])
# 'Tensor' object has no attribute 'cosine_similarity'
# Tensor类型对象未内置cosine_similarity方法,需按如下方式调用
torch.cosine_similarity(a, b, dim=0)

余弦相似度

1.7 矩阵分解

矩阵分解:将矩阵拆解为数个矩阵的乘积

1.7.1 矩阵三角分解(LR / LU分解)

三角分解:最常见的一种分解方式,便于我们求原矩阵的行列式、逆矩阵等。

1.7.2 矩阵正交三角分解(QR分解)

正交三角分解:矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵,再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。

1.7.3 矩阵特征值分解(EVD分解)

特征值分解:亦称谱分解(Spectral Decomposition),将矩阵分解成特征值和特征向量表示的矩阵乘法的形式。

定义【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是一个n×n方阵,且有n个线性无关的特征向量【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,可将【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分分解为:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
其中,Q是n×n方针,且第i列为A的特征向量【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是对角矩阵,其对角线上的元素对应特征值,即【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

只有可对角化矩阵(满秩)才能作特征分解。

1.7.4 矩阵奇异值分解(SVD分解)

定义【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是一个m×n实矩阵,存在一个分解使得【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
其中,【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是m×m阶正交矩阵,$\Sigma 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分V$是n×n阶正交矩阵。

奇异值分解使得非方阵也能进行分解,由于【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分必定为实对称矩阵,对它进行特征值分解,被称作对A进行奇异值分解。

其中,【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分均为正交矩阵,【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分是对角矩阵,根据特征值分解可以得到具体说明如下:

  • 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分被称为A的左奇异矩阵,其列组成的向量是方阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的特征向量,亦称【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的左奇异向量。
  • 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分被称为A的右奇异矩阵,其列组成的向量是方阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的特征向量,亦称【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的右奇异向量。
  • 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分对角线上的元素【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分即为A的奇异值,它们等于【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分特征值的平方根(【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分),行对应【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的列向量,列对应【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的列向量。

奇异值分解的代码如下:

A = torch.tensor([[1., 2., 3., 4.],[2., 3., 4., 5.],[3., 4., 5., 6.]])
A.svd()

奇异值分解

1.8 降维

1.8.1 基础操作

1.8.1.1 求和

我们可对张量所有元素求和:

x = torch.arange(6, dtype=torch.double)
x, x.sum()

求和

还可以指定按列/行元素求和:

A = torch.arange(20, dtype=torch.double).reshape(5, 4)

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)     # 将矩阵列向量求和(沿着行挨个列向量求和)
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)     # 将矩阵行向量求和(沿着列挨个行向量求和)
A_sum = A.sum(axis=[0, 1])      # 沿着行、列对矩阵求和,等价于对矩阵所有元素求和
A_sum_axis0, A_sum_axis1, A_sum

按行/列求和

1.8.1.2 平均值

同样,我们可对张量所有元素求平均,也可以指定按列/行元素求平均:

A = torch.arange(20, dtype=torch.double).reshape(5, 4)

A_mean = A.mean()    # 全部元素求平均
A_mean0 = A.mean(axis=0)     # 将矩阵列向量求平均(沿着行挨个列向量求平均)
A_mean1 = A.mean(axis=1)     # 将矩阵行向量求平均(沿着列挨个行向量求平均)
A_mean, A_mean0, A_mean1

求平均值

1.8.2 PCA主成分分析

PCA(principal components analysis)主成分分析,亦称主分量分析,旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标。

在统计学中,主成分分析PCA是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用于减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

1.8.3 稀疏矩阵压缩

仅存储矩阵中的非0元素,同时存储该元素所在矩阵中的行标和列标。

其中常用的有:按列压缩(CSC, Compressed sparse column)、按行压缩(CSR, Compressed sparse row)等。

2. 微积分

在深度学习中,我们“训练模型”使其变得更好,即最小化一个损失函数(loss function)

我们“训练”模型只能将模型与我们实际见到的数据相拟合,因此可将此任务分解为两个关键问题:

  • 优化(optimization):用模型拟合观察数据的过程。
  • 泛化(generalization):指导生成有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

2.1 导数 & 微分

假设有一个函数【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,其输入和输出都是标量。若其导数存在,则极限被定义为:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分存在,则称f在a处可微(differentiable)

2.2 偏导数

在深度学习中,通常需要用到多变量,我们将其思想推广到多元函数(multivariate function)

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,则y关于第i个参数x_i的偏导数(Partial Derivative)为:

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

2.3 梯度

假设有一个函数【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,其输入是一个n维向量【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,其输出是一个标量,则函数【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分相对于【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分的梯度是一个包含n个偏导数的向量:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

假设【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分为n维向量,在对多元函数求微分时经常使用以下规则:

  • 对于所有【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,都有【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
  • 对于所有【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,都有【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
  • 对于所有【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,都有【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
  • 【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

同样,对于任何矩阵【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,都有【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

例如,定义一个函数:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
其中:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
我们可采用自动微分的方式对示例这种函数求梯度,具体可参考下面两例。

2.4 Hessian矩阵

Hessian矩阵,中文译名为海森矩阵。

假设有一个函数【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,其Hessian矩阵定义如下:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

  • 当H为正定矩阵时,则该点是极小值点
  • 当H为负定矩阵时,则该点是极大值点
  • 当H为不定矩阵时,则该点是非极值点
  • 当H为半正定矩阵/半负定矩阵时,【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分则该点是 “可疑”极值点,需结合其他方法判定。

定义一个函数:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分
其中:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

本例代码采用自动微分的方式,对上述函数对上述函数原点处的Hessian矩阵进行计算:

import torch

# 函数定义
x = torch.tensor([0., 0, 0], requires_grad=True)
b = torch.tensor([1., 3, 5])
A = torch.tensor([[-5, -3, -0.5],[-3, -2, 0],[-0.5, 0, -0.5]])


def func(x):
    return b @ x + 0.5 * x @ A @ x


"""两次梯度求解Hessian矩阵"""
# 计算一阶导数,因为我们需要继续计算二阶导数,所以创建并保留计算图
grad = torch.autograd.grad(func(x), x, retain_graph=True, create_graph=True)
# 定义Print数组,为输出和进一步利用Hessian矩阵作准备
p = torch.tensor([])
for anygrad in grad[0]:  # torch.autograd.grad返回的是元组
    p = torch.cat((p, torch.autograd.grad(anygrad, x, retain_graph=True)[0]))
print(p.view(x.size()[0], -1))


"""API求解Hessian矩阵"""
print(torch.autograd.functional.hessian(func, x))

Hessian矩阵

2.5 Jacobian矩阵

Jacobian矩阵,中文译名为雅可比矩阵。

假设有一个函数【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分,其由多个函数组成:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

其雅可比矩阵定义为:
【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

定义一个函数(【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分):

【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

import torch

# 函数定义
x = torch.tensor([1., 1, 1], requires_grad=True)
A = torch.tensor([[1.,0,0],[0,0,5],[0,4,-2],[0,0,1]])

def func(x):
    return A @ x

"""梯度重组矩阵求解Jacobian矩阵"""
jac = torch.tensor([])
# 分别计算f[i]对x的梯度,再拼接为矩阵
for j in func(x):
    jac = torch.cat((jac, torch.autograd.grad(j, x, retain_graph=True)[0]))
print(jac.view(func(x).size()[0], -1))


"""API求解Jacobian矩阵"""
print(torch.autograd.functional.jacobian(func, x))

Jacobian矩阵

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原文链接:https://blog.csdn.net/Bitter_Li/article/details/134089749

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