数据包络分析(DEA)——CCR模型

写在前面:
博主本人大学期间参加数学建模竞赛十多余次,获奖等级均在二等奖以上。为了让更多学生在数学建模这条路上少走弯路,故将数学建模常用数学模型算法汇聚于此专栏,希望能够对要参加数学建模比赛的同学们有所帮助。

目录

  • 1. 模型原理
    • 1.1 模型介绍
    • 1.2 数据包络分析的CCR模型
      • 1.2.1 投入导向的CCR模型
      • 1.2.2 产出导向的CCR模型
  • 2. 案例分析

1. 模型原理

1.1 模型介绍

  数据包络分析是以“相对效率”概念为基础,根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位进行相对有效性或效益评价的一种系统分析方法。
  DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统,这主要体现在以下几点:
  (1)DEA以决策单位各输人/输出的权重为变量,从最有利于决策单元的角度进行评价,从而避免了确定各指标在优先意义下的权重。
  (2)假定每个输人都关联到一个或者多个输出,而且输入/输出之间确实存在某种关系,使用DEA方法则不必确定这种关系的显示表达式。
  DEA最突出的优点是无须任何权重假设,每一个输入/输出的权重不是根据评价者的主观认定,而是由决策单元的实际数据求得的最优权重。因此,DEA方法排除了很多主观因素,具有很强的客观性。

1.2 数据包络分析的CCR模型

DMU m个投入 q个产出
1 数据包络分析(DEA)——CCR模型 数据包络分析(DEA)——CCR模型
数据包络分析(DEA)——CCR模型 数据包络分析(DEA)——CCR模型 数据包络分析(DEA)——CCR模型
n 数据包络分析(DEA)——CCR模型 数据包络分析(DEA)——CCR模型

  设有n个决策单元(DMC),每个决策单元都有 m 种投入和 q 种产出,设数据包络分析(DEA)——CCR模型表示第i个决策单元的第i种投入量,数据包络分析(DEA)——CCR模型表示第 j 个决策单元的第 r 种产出量; 数据包络分析(DEA)——CCR模型表示第i 种投入的权值, 数据包络分析(DEA)——CCR模型表示第 r 种产出的权值;向量数据包络分析(DEA)——CCR模型分别表示决策单元j的输入和输出向量,则 数据包络分析(DEA)——CCR模型数据包络分析(DEA)——CCR模型
  决策单元 i 的评价效率指数可以使用产出和投入的比例衡量,则第 k 个决策单元的产出投入比为数据包络分析(DEA)——CCR模型

1.2.1 投入导向的CCR模型

  投入导向的CCR模型,是在给定投入的条件下最大化产出。评价决策单元k效率的数学模型为
数据包络分析(DEA)——CCR模型 数据包络分析(DEA)——CCR模型
  由于该形式是非线性规划,因此将其转化为线性规划形式为
数据包络分析(DEA)——CCR模型 数据包络分析(DEA)——CCR模型

  由于对偶模型的决策变量中包含效率值,因此将上述模型转化为对偶形式为:
数据包络分析(DEA)——CCR模型 数据包络分析(DEA)——CCR模型 其中,数据包络分析(DEA)——CCR模型
  在对偶规划中,数据包络分析(DEA)——CCR模型表示DMU的线性组合系数,参数 数据包络分析(DEA)——CCR模型即为效率值,其范围在0到1之间。

1.2.2 产出导向的CCR模型

产出导向的CCR模型,是在给定产出条件下最小化投入,其最终的对偶模型如下:
数据包络分析(DEA)——CCR模型 数据包络分析(DEA)——CCR模型 其中,数据包络分析(DEA)——CCR模型

2. 案例分析

  (多指标评价问题) 某市教委需要对六所重点中学进行评价,其相应的指标如表所示。表中的生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标,生均写作得分和生均科技得分是输出指标。请根据这些指标,评价哪些学校是相对有效的。

1,0.9096,0.9635,0.9143,1,1

根据产出导向的CCR对偶模型,利用Matlab编程求解得到6个最优目标值也是:

1,0.9096,0.9635,0.9143,1,1

可见决策单元1,5,6的投入产出最有效率,均为1,因此学校A,E,F是DEA有效的。
投入导向的CCR模型Matlab程序如下:

clc,clear
X=[89.39 86.25 108.13 106.38 62.4 47.19;
    64.3 99 99.6 96 96.2 79.9];
Y=[25.2 28.2 29.4 26.4 27.2 25.2;
    223 287 317 291 295 222];
n=size(X,2)     % 决策单元数
m=size(X,1)     % 投入指标数
q=size(Y,1)     % 产出指标数
%投入导向的CCR模型
w = [];
for i = 1:n
    f = [zeros(1,n) 1];   % 定义目标函数
    Aeq = [];             % 没有等式约束
    beq = [];
    LB = zeros(n+1,1);    % 指定下界
    UB = [];
    A = [X -X(:,i);-Y zeros(q,1)];         % 设定不等式约束
    b = [zeros(m,1);-Y(:,i)];
    w(:,i) = linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB); % 模型求解
end    
CCR_IN = w(n+1,:)'             % 结果输出

产出导向的CCR模型Matlab程序如下:

clc,clear
X=[89.39 86.25 108.13 106.38 62.4 47.19;
    64.3 99 99.6 96 96.2 79.9];
Y=[25.2 28.2 29.4 26.4 27.2 25.2;
    223 287 317 291 295 222];
n=size(X,2)     % 决策单元数
m=size(X,1)     % 投入指标数
q=size(Y,1)     % 产出指标数
%产出导向的CCR模型
w = [];
for i = 1:n
    f = [zeros(1,n) -1];   % 定义目标函数
    Aeq = [];             % 没有等式约束
    beq = [];
    LB = zeros(n+1,1);    % 指定下界
    UB = [];
    A = [X zeros(m,1);-Y Y(:,i)];         % 设定不等式约束
    b = [X(:,i)' zeros(1,q)]';
    w(:,i) = linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB); % 模型求解
end    
CCR_OUT = 1./w(n+1,:)'             % 结果输出

版权声明:本文为博主作者:抱抱宝原创文章,版权归属原作者,如果侵权,请联系我们删除!

原文链接:https://blog.csdn.net/m0_64087341/article/details/132951461

共计人评分,平均

到目前为止还没有投票!成为第一位评论此文章。

(0)
心中带点小风骚的头像心中带点小风骚普通用户
上一篇 2024年1月16日
下一篇 2024年1月16日

相关推荐

此站出售,如需请站内私信或者邮箱!