线性矩阵不等式LMI与李雅普诺夫Lyapunov稳定性

文章目录

• 线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）
• • • 例子
• Lyapunov稳定性
• Schur Complement
• • • 定义
    • Schur Complement作用/性质
    • 利用Schur Complement将LMI和Lyapunov联系起来

线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）

形式为

其中为对称方阵。

例子

若

则对应

随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出、以及 MATLAB 软件中 LMI 工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视。

Lyapunov稳定性

假设可以找到一个正定的Lyapunov函数（即）且，则可以证明系统是稳定的。以线性系统为例：

假设反馈控制

取Lyapunov函数为

其中正定且对称，即。Lyapunov的导数为

其中

若能证明，则该系统渐近稳定。

最优控制中常取

其中，前提矩阵满足、存在且有界，于是，

Schur Complement

Schur Complement可用于对一个块矩阵进行等价转换。

定义

假设一个的矩阵可以写成一个块矩阵形式：

1. 若是可逆的，则在中的舒尔补存在且为
   

2. 若是可逆的，则在中的舒尔补存在且为
   
   “来历”：对方程
   
   使用高斯消元法，由可逆有
   
   由可逆有
   
   未知数前面的系数即为舒尔补。

Schur Complement作用/性质

1. 将分别变为上三角或者下三角矩阵：若可逆，则
   
   若可逆，则
   
   利用该性质可以快速求解矩阵的逆。

2. 特殊性质：若是对称的，即
   
   若可逆，则有下列性质：

3. ，则有且仅有且；

4. 若，则有且仅有 。

利用Schur Complement将LMI和Lyapunov联系起来

利用舒尔补的特殊性质，式大于0等效为

Lyapunov稳定性的判定条件转化为线性形式，从而方便用软件包数值求解。