超螺旋滑模控制(STA)

超螺旋滑模控制(Super Twisting Algorithm, STA)

超螺旋滑模控制又称超扭滑模控制，可以说是二阶系统中最好用的滑模控制方法。

系统模型

对于二阶系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组

与传统滑模相比，超螺旋滑模，使用积分来获取实际控制量，不含高频切换量，所以系统中没有抖振。

令滑模面为s，只要满足以下的方程，即为稳定

控制器设计

设状态 的期望值为 ，则跟踪误差为

设计滑模面为

则滑模面的导数为

可以得到控制量

参数设定为

式中， 均大于0。

稳定性证明

可以看出，控制量中含有的不再是滑模面，而是多项式 。除此之外，在 中还出现了另一个参数 ,不妨把这两者定义为新的状态变量，在此基础上设成李雅普诺夫函数。

将第一项带入第二项

设置新的状态变量为

设置李雅普诺夫函数为

其中 为

李雅普诺夫函数的导数

对李雅普诺夫函数进行求导

其中 为

这样我们得到李雅普诺夫函数

求 的特征根

解方程组解得特征根为

所以

比较 $p_{min}(Q) Z^T Z Z^TQZ$的大小，为了简便运算，将根号项用 表示

上式中

所以我们得到

同理可证

李雅普诺夫函数导数的变换

上式是根据 做出的，对于 同样根据上式可得

向量的0范数，向量中非零元素的个数
向量的1范数，向量中各元素绝对值的模
向量的2范数，通常意义上的模值，欧几里得范数
向量的无穷范数，向量的最大值

矩阵的1范数，列和范数，所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
矩阵的2范数，谱范数，即 矩阵的最大特征值的开平方
矩阵的无穷范数，行和范数，所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
矩阵的F范数，Forbenius范数，所有矩阵元素绝对值的平方和再开放

的欧几里得范数为

所以

我们再次回到

其中

若系统满足 其中 ，则系统可以在有限时间内稳定

矩阵Q正定性的保证

上面的证明保证了系统具有李雅普诺夫稳定性，但是只有在的情况下才能保证系统稳定，此时需要

与 保持同号，由于矩阵为正定矩阵，所以必大于0，那么需要保证也大于0。

正定矩阵的特征值都是正数

不妨直接取

这样的话可以简化一下

所以 的特征根为

由于 所以 非常显然，现在只需要保证 ，则可以有

重写李雅普诺夫函数

上一节中给出了保证 正定性的条件，但是 和 这两个参数值是人为给出的，因此需要把这两个参数加入到李雅普诺夫函数中来

其中 为未知常数，对其求导

根据 有

设 中最小的数为 ，则上式为

带入 有

由于 为未知常数，那我们假设 ，总能找到两个常数满足这两个条件

此时若令

则

其中

所以此系统具有李雅普诺夫稳定性，尽管有 存在，系统仍然可以在一定程度上保持稳定，原因在于我们证明了 而不是传统的