MIT线性代数笔记-第24讲-马尔可夫矩阵，傅里叶级数

24.马尔可夫矩阵，傅里叶级数

马尔可夫矩阵

马尔可夫矩阵：各元素均非负且各列元素和均为 MIT线性代数笔记-第24讲-马尔可夫矩阵，傅里叶级数的方阵（在很多地方会定义为各行元素和均为）

马尔可夫矩阵的乘积也为马尔可夫矩阵

证明： 设两个阶马尔可夫矩阵，令

又容易证明当各元素均非负时各元素也非负，所以是马尔可夫矩阵
- 马尔可夫矩阵的正整数幂也是马尔可夫矩阵
马尔科夫矩阵的特征值和特征向量
- 依第讲的小技巧可知一定为一个马尔可夫矩阵的特征值之一
- 马尔可夫矩阵的特征值的绝对值（复数特征值则为模）一定不大于
  
  证明：
马尔可夫链

马尔可夫矩阵可用于求解概率相关的问题

例：有一个史莱姆在区域和区域之间来回跳动，当它在时，下一次有的概率跳往，有的概率留在；当它在时，下一次有的概率跳往，有的概率留在，史莱姆刚开始在，问无数次跳跃后它在的概率

构造二维向量使其两个元素分别表示次跳动后史莱姆在的概率和在的概率，则

再构造一个马尔可夫矩阵，那么，所以

计算可得的特征值为，分别对应特征向量

又，所以

又，所以，因而无数次跳跃后它在的概率为
傅里叶级数
- 若有一组维空间的标准正交基
  
  那么这个空间中的任意向量都可以用它们表示，即
  
  令，则，所以，这样可以很方便地求得中的每个元素，即
  
  这个求法也可以用来理解
- 傅里叶级数
  
  傅里叶级数可以展开任何周期函数，即
  
  与刚才的用个标准正交向量表示空间中的所有向量不同，此时维度是无限的，但这些三角函数的性质还是正交
  
  这就需要引入函数正交的含义，在向量中正交的判断是求点积，函数是曲线，有无数个点，所以点积由相加变成了求积分
  
  对于函数，二者在区间上正交当且仅当二者在上均有定义且在上的定积分
  
  证明在上正交：
  
  类似可证在上两两正交，又因为这些三角函数都有周期，所以它们在上两两正交
  
  接下来求解傅里叶级数中的，可以使用和向量类似的方法，等式左右分别乘上对应的三角函数，再在上积分
  
  如，可得
  
  当然