数学建模Matlab之数据预处理方法

本文综合代码来自文章http://t.csdnimg.cn/P5zOD

异常值与缺失值处理

%% 数据修复
% 判断缺失值和异常值并修复，顺便光滑噪音，渡边笔记
clc,clear;close all;
x = 0:0.06:10;
y = sin(x)+0.2*rand(size(x));
y(22:34) = NaN; % 模拟缺失值
y(89:95) = 50;% 模拟异常值
testdata = [x' y'];

subplot(2,2,1);
plot(testdata(:,1),testdata(:,2)); %subplot在一个图窗中创建多个子图，然后使用plot函数将原始数据可视化
title('原始数据');

异常值检验

作者通常首先判断是否具有异常值，因为如果有异常值的话，咱们就会剔除异常值，使其变成缺失值，然后再做缺失值处理会好很多。

%% 判断数据中是否存在异常值
% 1.mean 三倍标准差法 2.median 离群值法 3.quartiles 非正态的离群值法
% 4.grubbs 正态的离群值法 5.gesd 多离群值相互掩盖的离群值法
choice_1 = 5;
yichangzhi_fa = char('mean', 'median', 'quartiles', 'grubbs','gesd');
yi_chang = isoutlier(y,strtrim(yichangzhi_fa(choice_1,:))); %选择的是gesd多离群值……
if sum(yi_chang)
    disp('数据存在异常值');
else
    disp('数据不存在异常值');
end

对于上面的异常值检验法做讲解与扩展：

1. Mean 三倍标准差法（3σ原则）

• 描述：在正态分布数据中，任何一个数值如果偏离平均值超过3倍的标准差，就被认为是异常值。
• 应用条件：数据基本呈正态分布。（非常重要，需要进行正态性检验）
• 场景：适用于各种连续数据的分析，例如金融、生物统计等领域。

2. Median 离群值法

• 描述：基于中位数和四分位数范围来识别异常值。
• 应用条件：不需要数据完全符合正态分布。
• 场景：适用于偏态分布或者非正态分布的数据。

3. Quartiles 非正态的离群值法

• 描述：通过计算数据的四分位数范围（IQR）和上下四分位数来检测异常值。
• 应用条件：适用于非正态分布的数据。
• 场景：在各种非正态分布的数据分析中都可以使用。

4. Grubbs 正态的离群值法

• 描述：基于正态分布假设，测试数据集中最大或最小值是否显著偏离其余的观测值。
• 应用条件：数据应该是正态分布。
• 场景：广泛应用于各种领域，尤其是实验数据分析。

5. GESD（Generalized Extreme Studentized Deviate）

• 描述：用于检测多个异常值，即使它们相互掩盖。
• 应用条件：不特定于某一分布。
• 场景：当异常值可能相互掩盖时使用，例如在时间序列分析中。

其他方法

• Tukey’s Fences：

  • 通过四分位数范围（IQR）和“fences”（上下界）识别异常值。
  • 适用于各种分布的数据。

• DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）:

  • 一种基于密度的聚类算法，能够识别簇内和簇外点。
  • 用于大数据集和空间数据。

• Isolation Forests：

  • 用于高维数据集的异常检测。
  • 通过随机分离点来检测异常值。

正态性检验

读者不难发现，异常值检验通常与数据是否符合正态分布有关，所以，我们一起讨论一下如何使用matlab进行正态性检验。

初步判断

利用图像进行初步的正态性判断，涉及到常见的两种图：Q-Q图和P-P图。

1. PP图：

   • PP图是用于比较两个数据集的累积分布函数（CDF）。
   • 当你有一个样本数据集和一个理论分布（如正态分布）时，PP图会比较样本数据的CDF和理论CDF。
   • 在正态PP图中，如果样本数据来自正态分布，那么数据点应该大致沿着45度线。

2. QQ图：

   • QQ图是用于比较两个数据集的分位数。QQ图更常用于正态性检验，因为它对尾部的差异更敏感。
   • 当你有一个样本数据集和一个理论分布时，QQ图会比较样本数据的分位数和理论分布的分位数。
   • 在正态QQ图中，如果样本数据来自正态分布，那么数据点应该大致沿着一条直线，这条线不一定是45度线，但是应该是线性的。

其实上面最重要的一点就是，数据点在两个图中都沿着标准正态分布直线近似分布的话，我们就可以初步判断数据具有正态分布性。

% 正态检验
% 生成一些随机数据
data = randn(100, 1);

% 创建一个新的图形窗口
figure;

% 使用 normplot 创建正态概率图 (QQ图)
subplot(1,2,1);
normplot(data);
title('Normal Q-Q Plot');

% 使用 probplot 创建PP图
subplot(1,2,2);
probplot('normal', data);
title('Normal P-P Plot');

可以在论文中这样写：

为了对数据集的分布特性进行深入理解和分析，本文采用了QQ图和PP图两种方法进行了初步的正态性检验，旨在从不同角度全面评估数据的分布状态。其结果如图1所示。

​

图1结果显示：在QQ图中，xx数据的尾部行为和中心趋势没有发现显著的异常值或者偏态现象，表现出良好的正态分布特征；在PP图中，xx数据的整体分布与正态分布非常接近，进一步证实了数据的正态性。综合以上分析结果可初步得知：xx数据集呈现出较强的正态分布特性。

尽管PP图和QQ图都是强大的工具，但它们主要用于探索性数据分析，并不能代替更正式的正态性检验方法，如Jarque-Bera测试或Lilliefors测试。

正式判断

% 正态检验
% 生成一些随机数据
data = randn(100, 1);

% 使用 jbtest 进行 Jarque-Bera 测试
[h_jb, p_jb] = jbtest(data);

% 使用 lillietest 进行 Lilliefors 测试
[h_lil, p_lil] = lillietest(data);

% 显示测试结果
fprintf('Jarque-Bera Test: h = %d, p = %f\n', h_jb, p_jb);
fprintf('Lilliefors Test: h = %d, p = %f\n', h_lil, p_lil);

在上述代码中，h 和 p 分别代表假设检验的结果和 p 值，可以用来判断数据是否符合正态分布。

• h = 0 表示在给定的显著性水平下，不拒绝数据来自正态分布的原假设。即，数据可以被认为是正态分布的。
• p 值是一个概率值，它表示观察到的数据与正态分布之间的差异是偶然产生的概率。一般来说，如果 p 值大于预定的显著性水平（例如，0.05），则接受原假设，认为数据是正态分布的。

故对上图结果进行数据分析（论文中写的多一点啊，这是简要版）：

1. Jarque-Bera 测试结果:

   • h = 0, p = 0.361618
   • 因为h为0，并且p值为0.361618（大于通常的显著性水平0.05），所以我们接受原假设，认为数据是正态分布的。

2. Lilliefors 测试结果:

   • h = 0, p = 0.500000
   • 同样，h为0，并且p值为0.5，这也指示数据是正态分布的。

异常值处理与缺失值判断

作者所有异常值处理都是先赋空值，不知道还有没有其他的方法……

%% 对异常值赋空值
F = find(yi_chang == 1);
y(F) = NaN; % 令数据点缺失
testdata = [x' y'];

然后就可以和缺失值一起处理了，但是，为了保证文章的严谨性，咱还是需要判断一下是否存在缺失值。并且，不仅仅只判断，如果题目数据特征尤其多，并且有的特征缺失样本太多了，咱建议还是把这些特征删了，这就涉及到最省力法则：

% 假设testdata是一个n行m列的矩阵，每一列代表一个特征
[n, m] = size(testdata);
threshold = 0.8 * n;  % 设置阈值，80%的总样本量

% 遍历每一个特征
for i = 1:m
    % 计算每一列（特征）中非缺失值的数量
    nonMissingCount = sum(~isnan(testdata(:, i)));
    % 如果非缺失值的数量少于阈值，则删除该列（特征）
    if nonMissingCount < threshold
        testdata(:, i) = [];  % 删除特征
        m = m - 1;  % 更新特征数量
        i = i - 1;  % 更新当前索引
    end
end

% 显示处理后的数据
disp('处理后的数据：');
disp(testdata);

填充缺失值

%% 对数据进行补全
% 数据补全方法选择
% 1.线性插值 linear 2.分段三次样条插值 spline 3.保形分段三次样条插值 pchip
% 4.移动滑窗插补 movmean
chazhi_fa = char('linear', 'spline', 'pchip', 'movmean');
choice_2 = 3;
if choice_2 ~= 4
    testdata_1 = fillmissing(testdata,strtrim(chazhi_fa(choice_2,:))); % strtrim 是为了去除字符串组的空格
else
    testdata_1 = fillmissing(testdata,'movmean',10); % 窗口长度为 10 的移动均值
end

subplot(2,2,3);
plot(testdata_1(:,1),testdata_1(:,2));
title('数据补全结果');

作者通常喜欢（让队友）使用K最近邻法填补，而且都是用python搞的，so这里不讲。

平滑处理

当然，可以根据实际情况进行数据的平滑处理：

%% 进行数据平滑处理
% 滤波器选择 1.Savitzky-golay 2.rlowess 3.rloess
choice_3 = 2;
lvboqi = char('Savitzky-golay', 'rlowess', 'pchip', 'rloess');
% 通过求 n 元素移动窗口的中位数，来对数据进行平滑处理
windows = 8;
testdata_2 = smoothdata(testdata_1(:,2),strtrim(lvboqi(choice_3,:)),windows) ;

那么，实际情况到底是什么？

平滑数据对于某些机器学习模型的训练和性能是有益的，尤其是对于那些对数据中的噪声敏感的模型。下面是一些可能受益于数据平滑的算法：

决定是否进行数据平滑应该基于对上述因素的综合考虑，而不仅仅是基于特征的数量。在决定平滑之前，最好通过交叉验证来评估平滑对模型性能的实际影响。属于锦上添花的作用。

总结

最终的代码综合一下：

% 判断缺失值和异常值并修复，顺便光滑噪音，渡边笔记
clc,clear;close all;
x = 0:0.06:10;
y = sin(x)+0.2*rand(size(x));
y(22:34) = NaN; % 模拟缺失值
y(89:95) = 50;% 模拟异常值
testdata = [x' y'];

subplot(2,2,1);
plot(testdata(:,1),testdata(:,2)); %subplot在一个图窗中创建多个子图，然后使用plot函数将原始数据可视化
title('原始数据');


%% 判断数据中是否存在缺失值，并使用最省力法则
% 假设testdata是一个n行m列的矩阵，每一列代表一个特征
[n, m] = size(testdata);
threshold = 0.8 * n;  % 设置阈值，80%的总样本量

% 遍历每一个特征
for i = 1:m
    % 计算每一列（特征）中非缺失值的数量
    nonMissingCount = sum(~isnan(testdata(:, i)));
    % 如果非缺失值的数量少于阈值，则删除该列（特征）
    if nonMissingCount < threshold
        testdata(:, i) = [];  % 删除特征
        m = m - 1;  % 更新特征数量
        i = i - 1;  % 更新当前索引
    end
end

% 显示处理后的数据
disp('处理后的数据：');
disp(testdata);


%% 判断数据中是否存在异常值
% 1.mean 三倍标准差法 2.median 离群值法 3.quartiles 非正态的离群值法
% 4.grubbs 正态的离群值法 5.gesd 多离群值相互掩盖的离群值法
choice_1 = 5;
yichangzhi_fa = char('mean', 'median', 'quartiles', 'grubbs','gesd');
yi_chang = isoutlier(y,strtrim(yichangzhi_fa(choice_1,:))); %选择的是gesd多离群值……
if sum(yi_chang)
    disp('数据存在异常值');
else
    disp('数据不存在异常值');
end

%% 对异常值赋空值
F = find(yi_chang == 1);
y(F) = NaN; % 令数据点缺失
testdata = [x' y'];

subplot(2,2,2);
plot(testdata(:,1),testdata(:,2));
title('去除差异值');

%% 对数据进行补全
% 数据补全方法选择
% 1.线性插值 linear 2.分段三次样条插值 spline 3.保形分段三次样条插值 pchip
% 4.移动滑窗插补 movmean
chazhi_fa = char('linear', 'spline', 'pchip', 'movmean');
choice_2 = 3;
if choice_2 ~= 4
    testdata_1 = fillmissing(testdata,strtrim(chazhi_fa(choice_2,:))); % strtrim 是为了去除字符串组的空格
else
    testdata_1 = fillmissing(testdata,'movmean',10); % 窗口长度为 10 的移动均值
end

subplot(2,2,3);
plot(testdata_1(:,1),testdata_1(:,2));
title('数据补全结果');

%% 进行数据平滑处理
% 滤波器选择 1.Savitzky-golay 2.rlowess 3.rloess
choice_3 = 2;
lvboqi = char('Savitzky-golay', 'rlowess', 'pchip', 'rloess');
% 通过求 n 元素移动窗口的中位数，来对数据进行平滑处理
windows = 8;
testdata_2 = smoothdata(testdata_1(:,2),strtrim(lvboqi(choice_3,:)),windows) ;

subplot(2,2,4);
plot(x,testdata_2)
title('数据平滑结果');

至此，数据预处理完成。