两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。
正惯性指数是矩阵正特征值个数，负惯性指数是矩阵负特征值个数。
即合同矩阵的充分必要条件是特征值的正负号个数相同。
证明：
本论证中的所有矩阵先假设为对称矩阵，但不限于对称矩阵。
根据定义，若矩阵A和矩阵B满足
则称A与B合同。
根据对称矩阵的性质，可以得出：
其中，既可以是普通的对角矩阵（即标准型），也可以是规范型（即对角元素的绝对值为1）。
将（1.1）带入（1.2）可得：
假设 ，则（1.3）可化为
假若对角矩阵是标准型，则
一定可以利用矩阵乘法化为规范型矩阵。
从（1.2）和（1.4）可以得出，若A和B满足合同条件（1.1），等价于合同矩阵有相同的特征值（规范型），结论得证。
注意：
- 在对称矩阵中，合同跟相似是等价的，两者能够相互推导。但是在非对称矩阵中，合同和相似是不同的。
- 赫尔韦兹定理证明，可以参考对角线主子式的定义，以及特征值之积等于矩阵的行列式，这两点来证明。从第一阶主子式开始，依次递增的推论出第二个、第三个…第n个特征值的正负号。
关于赫尔韦兹定理的证明如下：https://zhuanlan.zhihu.com/p/652751194
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