两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。
正惯性指数是矩阵正特征值个数,负惯性指数是矩阵负特征值个数。
即合同矩阵的充分必要条件是特征值的正负号个数相同。
证明:
本论证中的所有矩阵先假设为对称矩阵,但不限于对称矩阵。
根据定义,若矩阵A和矩阵B满足
则称A与B合同。
根据对称矩阵的性质,可以得出:
其中,既可以是普通的对角矩阵(即标准型),也可以是规范型(即对角元素的绝对值为1)。
将(1.1)带入(1.2)可得:
假设 ,则(1.3)可化为
假若对角矩阵是标准型,则 一定可以利用矩阵乘法化为规范型矩阵。
从(1.2)和(1.4)可以得出,若A和B满足合同条件(1.1),等价于合同矩阵有相同的特征值(规范型),结论得证。
注意:
- 在对称矩阵中,合同跟相似是等价的,两者能够相互推导。但是在非对称矩阵中,合同和相似是不同的。
- 赫尔韦兹定理证明,可以参考对角线主子式的定义,以及特征值之积等于矩阵的行列式,这两点来证明。从第一阶主子式开始,依次递增的推论出第二个、第三个…第n个特征值的正负号。
关于赫尔韦兹定理的证明如下:https://zhuanlan.zhihu.com/p/652751194
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