1 矩量母函数
矩量母函数又称矩母函数（Moment Generating Function）又称动差生成函数，是一种构造函数，其定义为：
随机变量
是连续型随机变量时，其矩量母函数为：
随机变量
由泰勒级数可知
得到：
其中，即为
的
阶中心距。
矩量母函数对求
阶导可得
当时，则有
由此可知随机变量的均值和方差分别为：
2 参数为
和
的二项分布
离散随机变量服从参数为
和
的二项分布，则其矩母函数为
因此
所以则有
求二阶导则有
所以
因此，的方差为
3 均值为
的泊松分布
离散随机变量服从均值为
的泊松分布，则其矩母函数为
求微分可得
所以则有
因此，泊松分布的均值和方差都是。
4 参数为的指数分布
离散随机变量服从参数为
的指数分布，则其矩母函数为
从上面的推导可以发现，对于指数分布，只对小于
的
值定义。对
微分可以得到
因此
于是的方差为
5 参数为
和
的正态分布
标准正态随机变量的矩母函数如下所示
如果是标准正态分布，那么
就是参数为
和
的正态分布，则有
经过微分可以得到
所以则有
方差为
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