9.2 向量范数的三大不等式

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• 柯西-施瓦茨不等式
• 赫尔德不等式
• 闵可夫斯基不等式

  我这里要讲的三大不等式不是三种范数比较大小的三大不等式。而是非常经典的，学习线性代数必须掌握的三大不等式：柯西-施瓦茨不等式、赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式。

  我先讲讲这三大不等式的关系，首先是根据几何空间（定义了标准内积的欧几里得空间）里的夹角，有了柯西-施瓦茨不等式。然后由柯西-施瓦茨不等式推广到更一般的场景，就成了赫尔德不等式，也就是说柯西-施瓦茨不等式是赫尔德不等式在
时的特殊场景。那么由赫尔德不等式，可以推导出闵可夫斯基不等式，闵可夫斯基不等式就是除了1-范数，以外的p-范数符合三角不等式定义的证明。

柯西-施瓦茨不等式

  柯西-施瓦茨不等式，非常常见了。它的内容是：

  公式里的x和y都是向量，两条竖线是向量在内积下的模长，如果取标准内积模长就可以换成2-范数。但是如果不是标准内积，则后面是对应内积的模长。本文不讨论一般内积，所以直接用标准内积，只能在实数域，那么就可以特化为：

赫尔德不等式

  赫尔德不等式，英文为Hölder’s inequality，它的内容如下：

  展开来就是:

  时，,整个不等式就变成了柯西-施瓦茨不等式。

闵可夫斯基不等式

  p范数的不等式就是闵可夫斯基不等式，英文为Minkowski’s inequality，也就是：

  展开就是

  这也是p-范数定义里的三角不等式要求。闵可夫斯基不等式是由赫尔德不等式推出来的。我讲讲这个推导过程。首先讲清楚，是在复数域上，竖线代表模长。
  首先有复数模长的三角不等式，也就是1-范数的三角不等式，这个就无需证明了。

  两边同时乘以，得到：

  上式里的ab是向量的一个分量，现在把它扩展到整个向量，应用赫尔德不等式，进行变量替换：

  因为正整数的模长的模长就是本身，所以省略一些模长符号,得到：

  再把另一个代入：

  两个公式加起来：

  右边合并一下：

  左边也合并一下：

  再处理一下:

  代入，替换：

  发现两边都有,于是对左边进行改造，运用三角不等式：

  在三角不等式外面加求和符号，得到：

  把三个式子连起来，得到：

  根据不等式的传递性，去掉中间的，然后得到：

  所以两边都可以除于，得到：

  这就是闵可夫斯基不等式。证明完毕Q.A.D。