对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。了解线性规划与其对偶问题之间的关系，对于理解线性和非线性规划的高级专题具有重要作用。

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1.对偶问题的经济学解释(Economic Interpretation of the Dual Problem)

引例1：两个家具制造商间的对话如下：

李老板：Hi，王老板，听说近来家具生意好呀，也帮帮兄弟我哦！唉！我想租您的木工和油漆工一用。咋样？价格嘛。。。好说，肯定不会让您兄弟吃亏。

（内心OS：王老板做家具赚了大钱，可惜我老李有高科技产品，却苦于没有足够的木工和油漆工咋办？只有租咯）

王老板：价格嘛。。。好商量，好商量，只是。。。。

（内心OS：家具生意还真赚钱，但是现在的手机生意这么好，不如干脆把我的木工和油漆工租给他，又能收租金又可做生意）

王老板生产桌子和椅子两种产品，桌子的单价是50元，生产一张桌子需要4个木工工时，2个油漆工工时，椅子的单价为30元，生产一把椅子需要3个木工工时，1个油漆工工时，王老板总计有120个木工工时和50个油漆工工时。

此时，王老板考虑两个问题：第一个自己用木工和油漆工最多能赚多少钱，第二个把木工和油漆工出租出去不能低于自己赚的钱（不吃亏原则），并且出租的价格要尽可能低，使得李老板可以接受（竞争性原则）

第一个：王老板的家具生产模型
$begin{align*} max & Z=50x_1 + 30x_2\ s.t. &4x_1 + 3x_2 leq 120 \ & 2x_1 + x_2 leq 50 \ & x_1, x_2 geq 0 end{align*}$

将该问题称为原始线性规划问题，也称为原问题，记为（P，Primal）。该模型解决的问题是，如何利用有限的资源最大化生产收益。

第二个：王老板的资源出租模型
$begin{align*} min & W=120y_1 + 50y_2\ s.t. &4y_1 + 2y_2 geq 50 \ & 3y_1 + y_2 geq 30 \ & y_1, y_2 geq 0 end{align*}$

将该问题称为对偶线性规划问题，也称为对偶问题，记为（D，Dual）。该模型解决的问题是，如何进行资源最小化定价（竞争性原则），使得资源售卖的收益不低于自己生产所获的最大生产收益（不吃亏原则）。

这里我们仔细观察一下资源出租模型，第一条约束是讲售卖4单位木工工时和2单位油漆工时的收益要大于50，50刚好是生产一张桌子的收益，生产一张桌子正好是需要4单位木工工时和2单位油漆工工时。第一条约束就是说，生产1个桌子所需的资源的售卖收益，要大于生产1个桌子的销售收益。第二条约束，生产1个椅子所需的资源售卖收益，要大于生产1个椅子的销售收益，约束条件的目标就是要求不吃亏。目标函数是希望资源出售的总价最低，目标就是满足市场竞争性原则。

那么王老板按照资源出租模型（对偶规划问题），求解就可以获得其出租木工、油漆工资源的价格，这样既能保证不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又是的出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付出的总租金W最少）。本质上，是一种“共赢”。

2.获得线性规划的对偶(Finding the Dual of an LP)

给定一个线性规划原问题，如何写出其对偶问题呢？这里我们介绍两种情况下的变换方式：（1）对称型对偶问题；（2）非对称型对偶问题

2.1 对称型对偶问题

如果原问题如下：

那么其对偶问题为：

其中称为对偶变量。上述对偶问题称为：对称型对偶问题。原问题记为（P），对偶问题简记为（D），称问题（P）和（D）为一对对偶问题。

对称型对偶问题的对偶规则如下（重要！！！）：

1. 给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量，；

2. 使原问题的目标函数系数变为其对偶问题约束条件的右端项；

3. 使原问题约束条件的右端项常数变为其对偶问题目标函数的系数；

4.将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其对偶问题约束条件的系数矩阵；

5.改变约束问题不等号的方向，即将“”改为“”;

6.原问题为“max”型，对偶问题为“min”型。

一个例子：

原问题对偶问题

2.2 非对称型对偶问题

如果原问题不是对称型问题，那么就是非对称型问题。非对称问题的对偶规则如下

（重要！！！）：

1. 原问题为“max”，对偶问题为“min”;

2. 原问题中目标函数系数变为其对偶问题约束条件的右端项常数；

3. 原味题约束条件的右端项常数变为其对偶问题目标函数的系数；

4. 原问题约束条件的系数矩阵转置，即为其对偶问题的系数矩阵；

5. 原问题的变量个数等于其对偶问题的约束条件个数，原问题约束条件个数等于其对偶问题变量的个数；

6. 在求极大值的原问题中，“ leq ”， “ geq ”和“”的约束条件分别对应其对偶变量“ geq ”，“ leq ”和“无符号限制”；

7. 在求极大值的原问题中，变量“ geq ”，“ leq ”和“无符号限制”分别对应其对偶约束条件中“ geq ”，“ leq ”和“”约束。

一个重要的例子！

3.对偶定理(The Dual Theorem)

我们以对称型对偶问题为例（非对称型问题可以转化为对称型问题），来讲解对偶定理。

原问题对偶问题

这两个问题的矩阵表达如下：

原问题对偶问题

性质1: 对称性定理： 对偶问题的对偶是原问题

3.1 弱对偶定理

性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 $mathbf{X^0}$ 和 $mathbf{Y^0}$ 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
$mathbf{CX^0 leq Y^0b}$ ，即： $sum_{j=1}^nc_jx_j leq sum_{j=1}^my_ib_i$
证明：当和为原问题(P)和对偶问题(D)的一个可行解，有
, 和
对第一个式子左乘，第二个式子右乘，得到
，和
于是我们有
证毕。

推论1：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之，对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论2：在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。
若（P）为无界解，则（D）无可行解；
若（D）为无界解，则（P）无可行解；
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另外一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数值无界。

3.2 最优性定理

性质3 最优性定理：如果 $mathbf{X^0}$ 是原问题的可行解， $mathbf{Y^0}$ 是对偶问题的可行解，并且：
$mathbf{CX^0=BY^0}$ ，即：z = w
则 $mathbf{X^0}$ 是原问题的最优解， $mathbf{Y^0}$ 是其对偶问题的最优解。

3.3 强对偶定理

性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且他们最优解的目标函数值相等。
证明：
注意：原始单纯形的最终表，检验数均要求0，这里我们令（假设） $mathbf{Y^*=C_BB^{-1}}$ ，根据原始单纯形表中检验数0，我们知道
$mathbf{Y^*}geq 0$
$mathbf{Y^*A}geq mathbf{C}$
继续往后推，既可以得到最终原问题与对偶问题均具有可行解，那么两者均具有最优解，且他们最优解的目标函数值相等。

推论1：若一对对偶问题中的任意一个有最优解，则另外一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题无最优解，则另一个问题也无最优解。一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种：
都有最优解，且目标函数最优值相等；
两个都无可行解；
一个问题无界，则另一个问题无可行解。

4.互补松弛定理(Complementary Slackness)

性质5 互补松弛性：设 $bold{X}^0$ 和 $bold{Y}^0$ 分别是问题和问题的可行解，则他们分别是最优解的充要条件是：
$begin{cases} bold{Y}^0 bold{X}_s = 0 \ bold{Y}_s bold{X}^0 =0 end{cases}$
其中： $bold{X}_s$ 、 $bold{Y}_s$ 为松弛变量。
证明：(必要性，即如果 $bold{X}^0$ 和 $bold{Y}^0$ 分别是问题和问题的可行解且是最优解，那么有互补松弛条件)