矩阵理论| 特殊矩阵：酉矩阵、旋转与镜射

酉矩阵Unitary matrix

复数域的“正交矩阵”就是酉矩阵。酉矩阵的列向量组为一组标准正交基，因而
酉矩阵满足

酉矩阵出现于许多分解中：
SVD（）、矩阵三角化的 Schur 定理（，为上三角阵）、正规矩阵的酉对角化（）

酉矩阵的几何意义：旋转与镜射

一般而言，我们简单认为酉矩阵对应旋转变换；
但是实际上，旋转这个说法不是非常准确，前提是正交矩阵的行向量必须适当排序 ，否则也可能包含镜像变换

酉矩阵的几何意义有两种：旋转 和 镜射

例如2维空间中的两个正交矩阵是：
和

其中，对应旋转变换，而则是旋转变换+镜像变换（将x/y轴对调，相当于关于直线y=x的镜像反射）

详见 旋转与镜射

酉矩阵的性质

酉变换几何意义是旋转，由此立即可知：

• 酉变换保证长度不变：
  酉变换保证向量夹角不变：
• 酉矩阵特征值的模为1，即
  证明：，即

特征值与行列式：

• 酉矩阵行列式的模为1，即
  证明：
• 进一步，对于实正交矩阵，
  称为适当的（proper） 的正交矩阵；称为不适当的正交矩阵

例如下面两种实正交矩阵：
逆时针旋转角度的旋转矩阵满足，这是适当的正交矩阵
平面上以 为镜射轴的镜射矩阵满足，这是不适当的正交矩阵
详见 旋转与镜射

• 最后，酉矩阵（属于正规矩阵）可以酉对角化（一套正交的特征向量）

酉矩阵的判别

是酉矩阵的充要条件：

• 所有特征值满足，且最大奇异值
  （的等价表述：①的算子2范数；②对于任意向量有）

证明：
的SVD为，则
又因为有恒等式（原因：）
故
故，又因为，可知
最终，即知， 是酉矩阵

reference：
特殊矩阵 （3）：么正矩阵 （酉矩阵）
旋转与镜射