层次分析法原理及实例（AHP）

层次分析法（AHP）

一、层次分析法概述

层次分析法（analytic hierarchy process），简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究”根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
传统定性分析方法类似专家打分、专家判断等，仅能将指标简单地划分为几个层级（类似非常重要、比较重要、一般、比较不重要、非常不重要），这样导致部分存在差别但是不大的指标得到了同样的权重，受主观因素影响，无法对最终决策做出更好的帮助。层次分析法将不同指标间一一比对，主观与客观相结合，很好地解决了以上问题。

二、层次分析法计算步骤及示例

示例仅为帮助理解，数据为随意构造，请勿当真。
小红正值适婚年纪，周围亲友帮忙介绍了三位男生小一、小二、小三以供选择，但是几人各有千秋，不知该选择谁比较合适，所以采用层次分析法进行计算选择。

1.构造目标层次结构图

（1）目标层：小红的目标是选择一个相亲对象；
（2）准则层：小红在各位婆婆妈妈的建议下，决定从长相、性格、收入、身高、父母五个方面来考量；
（3）方案层：小一、小二、小三

2.定义比例标度表及构建指标比对表

以上表格中表示行对列的重要性，比如长相只有性格1/5重要，并依据这个表格填充完整表格。

计算各项指标的权重（算术平均法），即每项指标占该行的比重：
（1）归一化处理，每个元素除以所处列之和

（2）权重计算，归一化后每行求平均值

3.构建方案-准则比对表

依据每个方案在不同准则要素的表现进行比对，分别建立长相、性格、收入、身高、父母五个比对表，建立过程同2，结果如下：

4.对方案-准则比对表进行一致性检验

假设长相的比对表是这样：

那么，小一长相比小二好一点点，和小三一样，但是小二又比小三好一点；这样小一>小二，小一=小三，小二>小三，这样就前后矛盾了，需要进行二次调整。
*完全符合一致性校验的矩阵秩为1，但是因为主观比较权重无法保证一定能前后一致，往往接受一定程度的不一致。
在这里插入图片描述

其中，λmax为比对矩阵最大特征值，n为矩阵行数，即方案数量。

5.方案-准则得分计算

同第2步中计算步骤，得出方案在每个准则的得分情况，如下：

6.结合准则自身权重，计算得出每个方案综合得分：

综合得分=sum(单项得分*对应权重)

由综合得分可知，小三综合得分最高，是最优秀的相亲对象。

三、优缺点分析（来自百度百科）

优点：
1.系统性的分析方法
层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果，而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰明确。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。
2. 简洁实用的决策方法
这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受，且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单的数学运算。计算简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。
3. 所需定量数据信息较少
层次分析法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发，比一般的定量方法更讲求定性的分析和判断。由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法，层次分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑，只保留人脑对要素的印象，化为简单的权重进行计算。这种思想能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题。

缺点：
1. 不能为决策提供新方案
层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。在应用层次分析法的时候，可能就会有这样一个情况，就是学者自身的创造能力不够，造成了学者尽管在学者想出来的众多方案里选了一个最好的出来，但其效果仍然不够企业所做出来的效果好。而对于大部分决策者来说，如果一种分析工具能替学者分析出在学者已知的方案里的最优者，然后指出已知方案的不足，又或者甚至再提出改进方案的话，这种分析工具才是比较完美的。但显然，层次分析法还没能做到这点。
2. 定量数据较少，定性成分多，不易令人信服
在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法，因此必然带有较多的定性色彩。
3. 指标过多时，数据统计量大，且权重难以确定
当学者希望能解决较普遍的问题时，指标的选取数量很可能也就随之增加。指标的增加就意味着学者要构造层次更深、数量更多、规模更庞大的判断矩阵。那么学者就需要对许多的指标进行两两比较的工作。由于一般情况下学者对层次分析法的两两比较是用1至9来说明其相对重要性，如果有越来越多的指标，学者对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了，甚至会对层次单排序和总排序的一致性产生影响，使一致性检验不能通过。不能通过，就需要调整，在指标数量多的时候比较难调整过来。 [2]
4. 特征值和特征向量的精确求法比较复杂
在求判断矩阵的特征值和特征向量时，所用的方法和学者多元统计所用的方法是一样的。在二阶、三阶的时候，学者还比较容易处理，但随着指标的增加，阶数也随之增加，在计算上也变得越来越困难。不过幸运的是这个缺点比较好解决，学者有三种比较常用的近似计算方法。第一种就是和法，第二种是幂法，还有一种常用方法是根法。