系列文章目录
最优控制介绍
一级倒立摆控制 —— 系统建模（传递函数模型与状态空间方程表示）
一级倒立摆控制 —— 最优控制 线性二次型控制（LQR）及 MATLAB 实现
一级倒立摆控制 —— MPC 控制器设计及 MATLAB 实现
一级倒立摆控制 —— ROS2 仿真
一级倒立摆控制 —— LQR 控制器 GAZEBO 仿真
文章目录
- 系列文章目录
- 前言
- 一、系统结构
- 二、PID 控制
- 三、小车的位置会发生什么变化？
前言
在本页中，我们将为倒立摆系统设计一个 PID 控制器。在设计过程中，我们将假设一个单输入、单输出设备，其传递函数如下。除此以外，我们将尝试在不考虑小车位置的情况下控制摆的角度。
摆杆传递函数方程：
式中，
更具体地说，当小车受到 1-Nsec 的冲力时，控制器将试图保持摆锤垂直向上。在这些条件下，设计标准是：
- 稳定时间小于 5 秒
- 摆锤偏离垂直方向的幅度不应超过 0.05 弧度
有关原始问题设置和上述传递函数的推导，请查阅倒立摆： 系统建模页面。
一、系统结构
这个问题的控制器结构与您可能习惯的标准控制问题有些不同。由于我们试图控制摆的位置，而摆的位置在受到初始扰动后应返回垂直方向，因此我们跟踪的参考信号应为零。这种情况通常被称为调节器问题。施加在小车上的外力可视为脉冲干扰。该问题的示意图如下。
在开始设计 PID 控制器之前，我们首先需要在 MATLAB 中定义倒立摆传递函数模型。创建一个新的 .m 文件并键入以下命令来创建传递函数模型（有关获取这些命令的详细信息，请参阅主问题）。
M = 0.5;
m = 0.2;
b = 0.1;
I = 0.006;
g = 9.8;
l = 0.3;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;
s = tf('s');
P_pend = (m*l*s/q)/(s^3 + (b*(I + m*l^2))*s^2/q - ((M + m)*m*g*l)*s/q - b*m*g*l/q);
接下来，我们将定义一个 PID 控制器。
二、PID 控制
在 MATLAB 中可以通过将以下代码复制到 .m 文件末尾来模拟闭环传递函数（无论您使用的是传递函数形式还是模型的状态空间表示形式）。具体来说，我们使用 MATLAB 中的 pid 对象定义控制器。然后，我们使用反馈命令生成闭环传递函数 ，如上图所示，其中干扰力
为输入，摆锤角度与垂直方向的偏差
为输出。
t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 1, Ki = 1, Kd = 1'});
Kp = 100;
Ki = 1;
Kd = 1;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);
t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1'});
Kp = 100;
Ki = 1;
Kd = 20;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);
t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20'});
可以看到，过冲已经减小，摆锤偏离垂直方向的幅度不会超过 0.05 弧度。由于所有给定的设计要求都已满足，因此不需要进一步迭代。
三、小车的位置会发生什么变化？
本页开头给出了倒立摆系统的方框图。该图并不完整。代表小车位置 响应的图块没有包括在内，因为该变量没有被控制。但有趣的是，当摆锤角度
的控制器就位时，小车的位置会发生什么变化。要了解这一点，我们需要考虑整个系统框图，如下图所示。
重新排列后，我们得到以下框图。
在上图中，块 是为保持摆锤垂直而设计的控制器。因此，从施加到小车的输入力到小车位置输出的闭环传递函数
如下所示。
请参考倒立摆： 系统建模页面， 的传递函数定义如下。
式中，
在您的 m 文件中添加以下命令（假设 和
仍已定义），将生成小车位置对我们一直在考虑的相同脉冲干扰的响应。
P_cart = (((I+m*l^2)/q)*s^2 - (m*g*l/q))/(s^4 + (b*(I + m*l^2))*s^3/q - ((M + m)*m*g*l)*s^2/q - b*m*g*l*s/q);
T2 = feedback(1,P_pend*C)*P_cart;
t = 0:0.01:5;
impulse(T2, t);
title({'Response of Cart Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20'});
可以看到，小车以近似恒定的速度向负方向移动。因此，尽管 PID 控制器能稳定摆锤的角度，但在实际物理系统中实施这种设计并不可行。
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